第3章 函数 章末整合(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（人教B版2019）

　 　 　 章末整合 知识结构􀅰理脉络 要点梳理􀅰晰精华 　 　 １.函数的定义 初中所学习的函数传统定义与高中的近代 定义之间的异同点如下: [不同点]传统定义从变量变化的角度ꎬ刻 画两个变量之间的对应关系ꎻ而近代定义ꎬ则从 集合间的对应关系来刻画两个非空数集间的对 应关系. [相同点]两种对应关系满足的条件是相同 的ꎬ“变量 ｘ 的每一个值”及“集合 Ａ 中的每一个 数”ꎬ都有唯一一个“ｙ 值”与之对应. ２.函数三种表示方法的优缺点 三种表示法的特点(优缺点)比较如下: 解 析 法 优点 (１) 简明、全面地概括了变量间的 关系ꎻ (２)可以通过解析式求定义域内的任 意自变量对应的函数值. 缺点 不够形象、直观ꎬ且有些实际问题的函 数关系很难用解析式表示或根本不存 在解析式. 图 像 法 优点 (１)直观、形象地反映出函数关系变 化的趋势ꎻ (２)便于通过图像研究函数的性质. 缺点 只能近似地得到自变量对应的函数 值ꎬ有时误差较大. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 097 {#{QQABJYQAogggABIAAQhCQwEiCgCQkBEAAAoOhBAMsAABgANABAA=}#} 列 表 法 优点 查询方便ꎬ不需计算便可直接得出自 变量对应的函数值. 缺点 (１)只能表示有限个数的函数关系ꎻ (２)数较多时使用不方便. 　 　 并不是所有的函数都能用解析式表示 (事 实上ꎬ图像法也不适用于所有函数ꎬ如 Ｄ(ｘ) ＝ ０ꎬｘ∈Ｑꎬ １ꎬｘ∈∁ＲＱ.{ 列表法虽在理论上适用于所有函数ꎬ 但对于自变量有无数个取值的情况ꎬ列表法只 能表示函数的一个概况或片段. ) ３.常见函数的值域 (１)一次函数 ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｂ(ｋ≠０)的值域为 Ｒ. (２)二次函数 ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ(ａ≠０):当 ａ > ０ 时ꎬ值域为 ４ａｃ － ｂ ２ ４ａ ꎬ ＋ ∞ é ë ê ê ö ø ÷ꎬ当 ａ < ０ 时ꎬ值 域为 － ∞ ꎬ４ａｃ － ｂ ２ ４ａ æ è ç ù û ú ú . (３)反比例函数 ｙ ＝ ｋｘ ( ｋ≠０)的值域为{ ｙ ∈Ｒ ｜ ｙ≠０} . ４.函数单调性和奇偶性的重要结论 (１)当 ｆ(ｘ)ꎬｇ(ｘ)同为增(减)函数时ꎬｆ(ｘ) ＋ ｇ(ｘ)则为增(减)函数. (２)奇函数在对称的两个区间上有相同的 单调性ꎬ偶函数在对称的两个区间上有相反的 单调性. (３) ｆ(ｘ)为奇函数⇔ｆ( ｘ)的图像关于原点 对称ꎻ ｆ(ｘ) 为偶函数⇔ ｆ ( ｘ) 的图像关于 ｙ 轴 对称. (４)偶函数的和、差、积、商是偶函数ꎬ奇函 数的和、差是奇函数ꎬ积、商是偶函数ꎬ奇函数与 偶函数的积、商是奇函数. (５)定义在( － ∞ ꎬ ＋ ∞ )上的奇函数的图 像必过原点即有 ｆ(０) ＝ ０. 存在既是奇函数ꎬ又 是偶函数的函数 ｆ(ｘ) ＝ ０. (６) ｆ(ｘ) ＋ ｆ( － ｘ) ＝ ０⇔ｆ(ｘ)为奇函数ꎻ ｆ(ｘ) － ｆ( － ｘ) ＝ ０⇔ｆ(ｘ)为偶函数. ５.函数的零点 (１)函数零点的定义 对于函数 ｙ ＝ ｆ( ｘ) ( ｘ∈Ｄ)ꎬ使 ｆ( ｘ) ＝ ０ 的 实数 ｘ 称为函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)(ｘ∈Ｄ)的零点. (２)几个等价关系 方程 ｆ(ｘ) ＝ ０ 有实数根⇔函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)的 图像与 ｘ 轴有交点⇔函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)有零点. (３)函数零点的判定 如果函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)在区间[ａꎬｂ]上的图像是 连续不断的一条曲线ꎬ并且有 ｆ(ａ)􀅰ｆ(ｂ) < ０ꎬ 那么ꎬ函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)在区间(ａꎬｂ)内有零点ꎬ即存 在ｃ∈(ａꎬｂ)ꎬ使得 ｆ( ｃ) ＝ ０ꎬ这个 ｃ 也就是方程 ｆ(ｘ) ＝ ０ 的根. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 素养突破􀅰提技能 常见函数模型的应用 专题􀈀 典 例 剖 析 　 　 １.二次函数 　 　 典例 １ 已知函数 ｆ( ｘ) ＝ ａｘ２ － ２ａｘ ＋ ２ ＋ ｂ(ａ > ０)在区间[２ꎬ３]上的值域为[２ꎬ５] . (１)求 ａꎬｂ 的值ꎻ (２)若关于 ｘ 的函数 ｇ(ｘ) ＝ ｆ(ｘ) － (ｍ ＋ １) ｘ 在区间[２ꎬ４]上为单调函数ꎬ求实数