2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（人教B版2019）

　 　 　 ２. 解方程 ｘ２ ＋ ６ｘ ＋ ５ ＝ ０. ３. 利用十字相乘法分解因式: (１)ｘ２ － ３ｘ ＋ ２ꎻ (２)ｘ２ － (ａ ＋ ２)ｘ ＋ ２ａ. ４. 已知 ｘ２ － ４ｘ ＋ １ ＝ ０ꎬ求 ｘ ＋ １ｘ 的值. 请同学们认真完成练案[９] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２. １. ２　 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 素养目标􀅰定方向 课程标准 掌握等式的性质及常用的恒等式ꎬ会用因式分解法解一元二次方程. 核心素养 数学运算 必备知识􀅰探新知 　 　 一、一元二次方程 ａｘ２ ＋ｂｘ ＋ ｃ ＝０(ａ≠０)的解集 判别式的符号 解集 Δ ＝ ｂ２ － ４ａｃ > ０ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Δ ＝ ｂ２ － ４ａｃ ＝ ０ － ｂ２ａ{ } Δ ＝ ｂ２ － ４ａｃ < ０ ⌀ 　 　 思考 １:一元二次方程 ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０(ａ≠ ０)的求根公式 ｘ ＝ － ｂ ± ｂ ２ － ４ａｃ ２ａ 适合用于所 有的一元二次方程吗? 二、一元二次方程根与系数的关系 若关于 ｘ 的一元二次方程 ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０ (ａ≠０)有两个实数根 ｘ１ꎬｘ２ꎬ则有 ｘ１ ＋ ｘ２ ＝ － ｂ ａ ꎻ ｘ１ｘ２ ＝ ｃ ａ . 思考 ２:利用一元二次方程根与系数的关系 解题时ꎬ需要注意什么条件? 对 应 训 练 １. 以下是方程 ３ｘ２ － ２ｘ ＝ － １ 的解的情况ꎬ其中 正确的是 ( Ｂ ) Ａ. 因为 ｂ２ － ４ａｃ ＝ － ８ꎬ所以方程有解 Ｂ. 因为 ｂ２ － ４ａｃ ＝ － ８ꎬ所以方程无解 Ｃ. 因为 ｂ２ － ４ａｃ ＝ ８ꎬ所以方程有解 Ｄ. 因为 ｂ２ － ４ａｃ ＝ ８ꎬ所以方程无解 ２. 若关于 ｘ 的一元二次方程(ｍ － １) ｘ２ ＋ ４ｘ ＋ ２ ＝ ０ 有实数根ꎬ则 ｍ 的取值范围是　 ｍ≤３ 且 ｍ≠１. ３. 已知关于 ｘ 的方程 ｘ２ ＋ ｍｘ ＋ １ ＝ ０ 根的判别式 的值为 ５ꎬ则 ｍ ＝ 　 　 ± ３. ４. 已知 ３ 是关于 ｘ 的方程 ４３ ｘ ２ － ａｘ ＋ １ ＝ ０ 的一 个根ꎬ则 ａ 的值为　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 037 {#{QQABLYSEgggAAgBAAQgCQwVyCgCQkBEACKoORAAAoAABABFABAA=}#} 关键能力􀅰攻重难 判断一元二次方程根的个数与解方程 类型􀈀 典 例 剖 析 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 典例 １ 判定下列关于 ｘ 的方程的根的 情况(其中 ａ 为常数)ꎬ如果方程有实数根ꎬ写出 方程的实数根. (１)ｘ２ － ３ｘ ＋ ３ ＝ ０ꎻ　 (２)ｘ２ － ａｘ － １ ＝ ０ꎻ (３)ｘ２ － ａｘ ＋ (ａ －１) ＝０ꎻ　 (４)ｘ２ －２ｘ ＋ ａ ＝０. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 归纳提升: 当一元二次方程的根的判别式的符号随着 ａ 的取值的变化而变化时ꎬ需要对 ａ 的取值情况 进行讨论ꎬ这一方法称为分类讨论ꎬ分类讨论这 一思想方法是高中数学中一个非常重要的方 法ꎬ在今后的解题中会经常地运用这一方法来 解决问题. 对 点 训 练 １. 不解方程ꎬ判断下列方程的实数根的个数: (１)２ｘ２ － ３ｘ ＋ １ ＝ ０ꎻ (２)４ｙ２ ＋ ９ ＝ １２ｙꎻ (３)５(ｘ２ ＋ ３) － ６ｘ ＝ ０. 根据根的情况求参数 类型􀈁 典 例 剖 析 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 典例 ２ 已知关于 ｘ 的方程 ｘ２ ＋ ２(ｍ － ２)ｘ ＋ ｍ２ ＋ ４ ＝ ０ 有两个实数根ꎬ并且这两个实 数根的平方和比两个根的积大 ２１ꎬ求 ｍ 的值. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋