1.1.2 集合的基本关系(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（人教B版2019）

　 　 　 １. １. ２　 集合的基本关系 素养目标􀅰定方向 课程标准 １. 理解集合之间包含与相等的含义. ２. 能识别给定集合的子集. ３. 了解空集与其他集合的关系. ４. 能使用 Ｖｅｎｎ 图表达集合的基本关系ꎬ体会图形对理解抽象概念的作用. 核心素养 １. 数学抽象 ２. 数学抽象 ３. 数学抽象 ４. 数学抽象、直观想象 必备知识􀅰探新知 　 　 一、维恩图 用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合 的示意图. 二、子集和真子集 概念 定义 符号表示 示意图 子集 如果集合 Ａ 的 任意一个元素 都是集合 Ｂ 的 元素ꎬ那么集合 Ａ 称为集合 Ｂ 的子集 　 Ａ⊆ Ｂ　 ( 或 　 Ｂ⊇Ａ　 )读作 “Ａ 包含于 Ｂ”　 (或 　 “ Ｂ 包含 Ａ”　 　 　 ) 真子集 如果集合 Ａ 是 集 合 Ｂ 的 子 集ꎬ并且集合 Ｂ 中至少有一个 元素不属于 Ａꎬ 那么集合 Ａ 称 为集合 Ｂ 的真 子集 Ａ⫋Ｂ(或 Ｂ⫌Ａ) 读作“ Ａ 真包含 于 Ｂ” (或“Ｂ 真 包含 Ａ”) 　 　 思考:(１)符号“∈”与“⊆”有什么区别? (２)⌀与{⌀}的关系如何? 对 应 训 练 １. (多选)下列表述正确的是 ( 　 ) Ａ. {１}⊆{１ꎬ２}　 　 　 　 　 Ｂ. {０}⊆{１ꎬ２} Ｃ. {１ꎬ２}⊇{２} Ｄ. {１ꎬ２}⊆{２ꎬ１} ２. 已知集合 Ｐ ＝ { －１ꎬ０ꎬ１ꎬ２}ꎬＱ ＝ { －１ꎬ０ꎬ１}ꎬ则 ( Ｃ ) Ａ. Ｐ∈Ｑ Ｂ. Ｐ⊆Ｑ Ｃ. Ｑ⊆Ｐ Ｄ. Ｑ∈Ｐ ３. 若 Ａ ＝ { ｘ ｜ ｘ 是平行四边形}ꎬＢ ＝ { ｘ ｜ ｘ 是菱 形}ꎬＣ ＝ {ｘ ｜ ｘ 是矩形}ꎬＤ ＝ {ｘ ｜ ｘ 是正方形}ꎬ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 009 {#{QQABJYQAgggIAABAAQgCQwESCgOQkAAACKoOgBAAsAABgQFABAA=}#} 试用 Ｖｅｎｎ 图表示它们之间的关系. 　 　 三、关于子集和真子集的结论 １. 空集是任意一个集合 Ａ 的子集ꎬ 即 ⌀⊆Ａ. ２. 对于集合 ＡꎬＢꎬＣꎬ如果 Ａ⊆ＢꎬＢ⊆Ｃꎬ则 Ａ⊆Ｃ. ３. 对于集合 ＡꎬＢꎬＣꎬ如果 Ａ⫋ＢꎬＢ⫋Ｃꎬ则 Ａ⫋Ｃ. 四、集合相等与子集的关系 １. 如果 Ａ⊆Ｂ 且 Ｂ⊆Ａꎬ则 Ａ ＝ Ｂ. ２. 如果 Ａ ＝ Ｂꎬ则 Ａ⊆Ｂ 且 Ｂ⊆Ａ. 对 应 训 练 １. 已知 Ａ ＝ {１ꎬ２}ꎬ则 Ａ 的子集共　 　 　 ４　 个. ２. 设 ａ∈Ｒꎬ若集合{２ꎬ９} ＝ {１ － ａꎬ９}ꎬ则 ａ ＝ 　 　 　 － １　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关键能力􀅰攻重难 集合之间关系的判断 类型􀈀 典 例 剖 析 　 　 典例 １ 指出下列各对集合之间的 关系: (１)Ａ ＝ { － １ꎬ１}ꎬＢ ＝ {( － １ꎬ － １)ꎬ( － １ꎬ １)ꎬ(１ꎬ － １)ꎬ(１ꎬ１)}ꎻ (２)Ａ ＝ {ｘ ｜ ｘ 是等边三角形}ꎬＢ ＝ { ｘ ｜ ｘ 是 等腰三角形}ꎻ (３)Ａ ＝ ( － １ꎬ４)ꎬＢ ＝ {ｘ ｜ ｘ － ５ < ０}ꎻ (４)Ｍ ＝ {ｘ ｜ ｘ ＝ ２ｎ － １ꎬｎ∈Ｎ ＋ }ꎬＮ ＝ {ｘ ｜ ｘ ＝ ２ｎ ＋ １ꎬｎ∈Ｎ ＋ } . 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 归纳提升: (１)判断集合关系的方法 ①观察法:一一列举观察. ②元素特征法:首先确定集合的元素是什 么ꎬ弄清集合元素的特征ꎬ再利用集合元素的特 征判断关系. ③数形结合法:利用数轴或维恩图. (２)证明集合间的包含关系ꎬ一般用定义. 对 点 训 练 １. (１)能正确表示集合