第六讲 二次函数与一元二次方程、不等式（例题讲解+思路总结+题型训练）-2023-2024学年高一数学上学期核心题型专练（人教A版2019必修第一册）

第六讲 二次函数与一元二次方程、不等式 知识点总结 知识点1　 1.一元二次不等式的概念 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式是 或 ax2+bx+c<0(a,b,c均为常数,a≠0). 2.二次函数的零点 在现阶段，对于二次函数y=ax2+bx+c, 我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数的零点. 注意：二次函数的零点为对应方程的根,是一个实数,不是点的坐标. 知识点2　 1.二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系(其中a>0) 判别式：Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c的图象 方程ax2+bx+c=0的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2) 有两个相等的实数根 没有实数根 ax2+bx+c>0的解集 {x|x<x1,或x>x2} 　R　  ax2+bx+c<0的解集 {x|x1<x<x2} ⌀ ⌀ 2.若关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(m,n),则x=m与x=n为方程ax2+bx+c=0的两个根. 3.分式不等式 (1)>0(<0)⇔ <0); (2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 知识点3 常见结论 1.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为 则一定满足; 2.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为 则一定满足; 3.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为 ，则一定满足; 4.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为 ，则一定满足. 典型例题分析 考向一 　利用二次函数图像性质解函数值的范围问题. 例.已知函数，当时，求函数值y组成的集合. 变式1. 已知函数，当时，其中为常数，求函数值y组成的集合. 考向二 一元二次方程根的分布问题 例 若方程的两实根满足条件：一根在0与1之间，另一根在1与2之间，求实数m的集合. 变式.（2007年广东卷理科数学第20题改编题）已知是实数，方程，在区间上有根，求的取值范围. 考向三 可以转化为二次函数型的问题 例.已知,求函数值y组成的集合. 考向四 可以转化为均值不等式问题的二次型不等式问题. 例. 已知不等式对恒成立，求实数的取值范围. 变式1：已知不等式对恒成立，求实数的取值范围. 变式2：已知不等式在上有解，求实数的取值范围. 基础题型训练 一、单选题 1．一元二次方程的两根为，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．设，是方程的两个实数根，则的值为（    ） A．5 B． C．1 D． 3．不等式的解为（    ） A．或 B． C．或 D．或 4．设，则关于的不等式有解的一个必要不充分条件是（    ） A． B．或 C． D． 5．设表示不超过的最大整数(例如：[5.5]=5，[-5.5]＝-6)，则不等式的解集为 A．(2，3) B．[2,4) C．[2，3] D． 6．已知函数，不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D．或 二、多选题 7．二次函数的部分图象如图所示，则下面结论中正确的是（    ）    A． B． C． D．当时， 8．已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 三、填空题 9．现有含盐7%的食盐水200克，生产含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x克，则x的取值范围是 ． 10． 若的解集为，则的值为 . 11． 若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 . 12．关于的方程有两个大于的不相等实根，则实数的取值范围为 ． 四、解答题 13．解不等式：. 14． ，不等式恒成立，求的取值范围. 15．已知函数 (1)求这个函数图像的顶点坐标和对称轴； (2)已知，不计算函数值求； (3)不直接计算函数值，试比较与的大小． 16．已知函数，且，. (1)求的解析式； (2)若在上的值域为求的值. 提升题型训练 一、单选题 1．不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D．或 2．不等式的解集为，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 3．已知一元二次不等式的解集为，则的最大值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 4．若不等式组的解集不是空集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，若对于任意，恒成立，则实