第九讲 函数的性质（例题讲解+思路总结+题型训练）-2023-2024学年高一数学上学期核心题型专练（人教A版2019必修第一册）

第九讲 函数的性质 知识点总结 知识点1　函数的奇偶性 (1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有： f(x)是 ⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)； f(x)是 ⇔f(－x)＝－f(x)． (2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)． 知识点2．函数单调性 判断方法：图象法、复合函数法、导数法、定义法 判断函数的单调性优先考虑定义域；可先考虑图象法，再考虑复合函数法，关键时刻用导数法，别忘了定义法 知识点3.函数的周期性 （1）若存在一个非零常数T，使得对于定义域内的任意x，都有f(x＋T)＝f(x)，则称f(x)为 ； （2）若函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的周期为 ； （3）若函数f(x)满足f(x＋a)＝，则f(x)的周期为 ； （4）若函数f(x)满足f(x＋a)＝－，则f(x)的周期为 知识点4．函数图象的对称中心或对称轴 (1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝2b－f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于点 对称． (2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线 对称． （3）若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝m，则f(x)的图象关于点 对称 典型例题分析 考向一 　单调性与奇偶性 例： (1) 若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　) A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1] C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3] (2)设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为N，则(M＋N－1)2 021的值为________． 考向二　奇偶性与周期性 例： (1)定义在R上的奇函数f(x)满足f ＝f(x)，当x∈时，f(x)＝，则f(x)在区间内是(　　) A．减函数且f(x)>0 B．减函数且f(x)<0 C．增函数且f(x)>0 D．增函数且f(x)<0 (2)已知定义在R上的函数f(x)满足：函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且x≥0时恒有f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝ex－1，则f(2 020)＋f(－2 021)＝________. (3)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，且f(b＋x)＝f(b－x)，则2(b－a)是函数f(x)的一个周期． 【拓展练习】　 (1)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝ f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于(　　) A．－50 B．0 C．2 D．50 考向三 函数图象的识别 例： (1)函数f(x)＝x·ln |x|的图象可能是(　　) (2)已知某函数图象如图所示，则此函数的解析式可能是(　　) A．f(x)＝·sin x B．f(x)＝·sin x C．f(x)＝·cos x D．f(x)＝·cos x 考向四　函数图象的变换及应用 例：　(1)若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为(　　) (2)已知函数f(x)＝若不等式|f(x)|≥mx－2恒成立，则实数m的取值范围为(　　) A．[3－2，3＋2] B．[0,3－2] C．(3－2，3＋2) D．[0,3＋2] 思路总结： 　(1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特征点排除不符合要求的图象． (2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题．求解两个函数图象在给定区间上的交点个数问题时，可以先画出已知函数完整的图象，再观察． 基础题型训练 一、单选题 1．设是定义在R上的奇函数，当时，，则（     ） A．-2 B．1 C．-1 D．2 2．下列函数中，是奇函数，又在定义域内为减函数的是（    ） A． B． C． D． 3．函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．二次函数在上的最小值为 A． B． C． D． 5．设函数，均是定义在上的偶函数和奇函数，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数是定义在上的奇函数且单调递减，函数，则（    ） A．是上的奇函数且单调递减 B．是上的奇函数且单调递增 C．是非奇非偶函数且在上单调递减 D．是非奇非偶函数且在上单调递增 二、多选题 7．已知[x]表示不超过x的最大整数，定