第五讲 基本不等式（例题讲解+思路总结+题型训练）-2023-2024学年高一数学上学期核心题型专练（人教A版2019必修第一册）

第五讲 基本不等式 知识点总结 知识点1　基本不等式的概念 1．基本不等式：如果a>0，b>0，则≤，当且仅当 时，等号成立． 2．其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 3．两个正数的算术平均数 它们的几何平均数． 知识点2　基本不等式的应用 1、 求定值 已知x,y都是正数. (1)如果x+y=S(定值),则xy≤= 　(当且仅当“x=y”时取“=”).即“ ”.  (2)如果xy=P(定值),则x+y≥2=　2　(当且仅当“x=y”时取“=”).即“ ”.  2、常用结论 1. ≥(沟通两和a+b与两平方和a2+b2的不等关系式) 2. ≤(沟通两积ab与两平方和a2+b2的不等关系式) 3. ≤(沟通两积ab与两和a+b的不等关系式) 4.重要不等式串:≤≤≤(a,b都是正数)即调和平均值≤几何平均值≤算术平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件). 典型例题分析 考向一 　利用基本不等式求最值 方法一 直接法求最值 (1)已知a,b∈R,且2a-b-2=0,则9a+的最小值为 (　　) A.2 B.4 C.6 D.8 (2)若x>0,y>0,且x+y=18,则的最大值为 (　　) A.9 B.18 C.36 D.81 方法二　拼凑法求最值 (1)(多选题)(2022·廊坊模拟)已知a>1,则2a+的取值可以是 (　　) A.5 B.6 C.7 D.8 (2)当x>0时,函数y=的最小值为 (　　) A.2 B.2-1 C.2+1 D.4 方法三 常值代换法求最值 已知a>0,b>0,且点在直线x+y=4上,则+的最小值为　　　　.  方法四 4　消元法求最值 (1)若正实数a,b满足b+3a=2ab,则的最大值为　　　　.  (2)已知正实数a,b满足ab+2a-2=0,则4a+b的最小值是 (　　) A.2 B.4-2 C.4-2 D.6 考向二 基本不等式的实际应用 例 小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16 m2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度． 延伸探究　如果小明的爸爸只有12 m长的围栏，如何设计，才能使游乐园的面积最大？ 考向三 用基本不等式求参数的取值范围 　例：如图所示，设矩形ABCD(AB>BC)的周长为36，把它沿AC翻折，翻折后AB′交DC于点P，设AB＝x. (1)用x表示DP，并求出x的取值范围； (2)求△ADP面积的最大值及此时x的值． 基础题型训练 一、单选题 1．用12cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，则这个矩形的面积是（    ） A．3cm2 B．6cm2 C．9cm2 D．12cm2 2．设0<x<，则x(1-2x)的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．函数的最小值为（    ） A．5 B．3 C．2 D． 4．已知，则函数的最小值为 A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知关于的方程组：(其中)无解，则必有（    ） A． B． C． D． 6．若，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列命题中正确的是（    ） A．对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab、a＋b≥2均成立 B．若a≠0，则a＋≥2 ＝4 C．若a，b∈R，则ab≤ D．若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64 8．任取多组正数，通过大量计算得出结论：，当且仅当时，等号成立．若，根据上述结论判断的值可能是（    ） A． B． C．5 D．3 三、填空题 9．已知，则的最大值为 ． 10． 若不等式对任意恒成立，则的取值范围是 ． 11． 用列货车将一批货物从市以的速度匀速行驶直达市．已知两市间铁路线长，为了确保安全，每列货车之间的距离不得小于，货车自身长度忽略不计，则这批货物全部运到市最快需要 ． 12．若实数、满足，则的最大值为 四、解答题 13．（1）已知，求的取值范围； （2）设，，均为正数，且，证明：； 14．已均为正数，且，证明： (1)； (2)． 15．某罐装饮料厂为降低成本要将制罐材料减小到最少．假设罐装饮料筒为圆柱体，上、下底半径均为r，高为h，体积为定值V，上、下底厚度分别是侧面厚度的2倍．试问：当r与h之比是多少时，用料最少？（可以到市场上进行调查，看看哪些罐装饮料大体上符合你的计算结果） 16．已知a＞0，b＞0，c＞0，且abc＝1， a，b，c不相等，求证：+. 提升题型训练 一、单选题 1．设，则（    ） A． B． C． D． 2． 已知均为正数，且，则使恒成立的的取值范围为 A． B． C． D． 3．