第3章 数据的集中趋势和离散程度（十四大题型）-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年九年级数学上册同步精讲精练（苏科版）

（苏科版）九年级上册数学 《第3章 数据的集中趋势和离散程度》 知识点一 算术平均数与加权平均数 ◆1、算术平均数 算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数． 记作：“”，读作：“x 拔”． ◆2、加权平均数 ◆(1)加权平均数：①若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则 叫做这n个数的加权平均数． ②在求 n 个数的平均数时，如果 x1出现 f1次，x2 出现 f2 次，…，xk 出现 f k 次(这里 f1 +f2+…+f k = n)，那么这 n 个数的加权平均数为， 其中f1，f2，f3，…，fn 分别叫做x1，x2，x3，…，xn的权. ◆(2)权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果． ◆(3)数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响． ◆（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息． ◆（5）算术平均数与加权平均数的区别与联系： 区别：① 算术平均数中各数据都是同等重要，没有相互间差异； ② 加权平均数中各数据都有各自不同的权重地位. 联系：算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数． 知识点二 中位数和众数 ◆1、中位数 ◆（1）中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． ◆（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息． ◆（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势． ◆2、众数 ◆众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数． 【注意】：（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中． （2）一组数据的众数可能不止一个. 如 1，1，2，3，3，5 中众数是 1 和 3． （3）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数，如 1，1，1，2，2，5 中众数是 1 而不是 3． 知识点三 方差 ◆1、方程 ◆（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差． ◆（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是： s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”） ◆（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． ◆2、用样本估计总体 当所要考察的对象较多，或者对考察的对象带有破坏性时，统计中常常通过抽取样本，用样本估计总体的方法来获得对总体的认识. ◆（1）统计的基本思想：用样本的特征（平均数和方差）估计总体的特征． ◆（2）统计的决策依据：利用数据做决策时，要全面、多角度地去分析已有数据，从数据的变化中发 现它们的规律和变化趋势，减少人为因素的影响．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 题型一 求算术平均数 【例题1】某中学举行校园歌手大赛，6位评委给某选手的评分如下表： 评委 1 2 3 4 5 6 得分 9.8 9.5 9.8 9.9 9.6 9.7 计分方法是：去掉一个最高分，去掉一个最低分，以剩余分数的平均分作为该选手的最后得分，则该选手的最后得分为（保留两位小数）（　　） A．9.72分 B．9.73分 C．9.77分 D．9.79分 解题技巧提炼 (1)当数据信息以表格或图象的形式呈现时，要结合已知条件读懂表格或图象，并能从中获取有用的信息，求一组数据的平均数，通常用定义法，即用这组数据的和除以这组数据的总个数. (2)在求较大数据的平均数时，首先要仔细观察数据特点，如果所给数据都在某个数据附近波动时，可采用新数据法求解. 【变式1-1】（2023•锦江区校级模拟）2023年以来，成都创建“文明典范城市”工作中，某校开展“文明伴成长”画展，其中彩铅、水墨、水彩、速写四个类别的幅数分别为：18，12，18，20，则这组数据的平均数为（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 【变式1-2】在计算