专题 双曲线的常用二级结论知识清单-2024届高三数学一轮复习

专题 双曲线的常用二级结论 双曲线的常用二级结论： 1．焦点三角形问题：双曲线第一定义：． 若点为双曲线：＝1(a>0，b>0)上一点，F1、F2分别为左、右焦点，，则： (1)焦点三角形的焦半径长度：若F为双曲线的焦点，则且． (2)焦点三角形周长：直线过左焦点与双曲线左支交于两点，则． (3)焦点三角形面积：．特别地其中点 P 由实轴端点向远离实轴运动的过程中，θ逐渐减小． (4)． (5)已知双曲线（a＞0,b＞0），直线L通过其右焦点F2，且与双曲线右支交于A、B两点，将A、B与双曲线左焦点F1连结起来，则（当且仅当AB⊥x轴时取等号）． (6)焦点三角形与离心率关系：设双曲线的两个焦点为为双曲线上异于长轴端点的任意一点，在中，记, ,，则有． (7)设P为双曲线上一点，则△PF1F2的内切圆必切于与P在同侧的顶点． (8)PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点． 2．焦半径与焦点弦：双曲线第二定义：（为离心率） (1)通径：最短焦点弦(即垂直于实轴的焦点弦中最短的弦)且=． (2)焦半径坐标式：，其中为离心率，为P点横坐标． 当在右支上时，,. 当在左支上时，,. (3)焦半径倾斜角式： ①焦半径(口诀：”同正异负”，“同正”指点与焦点所在区域相同，如；”异负”指点与焦点所在区域不同，如)； ②双曲线焦点弦长公式：(其中)； ③(其中为通经)(口诀：”同正异负”，“同正”指点在双曲线的同一支上；”异负”指点在双曲线的不同两支上)； ④焦点定理弦：已知焦点在轴上的双曲线，经过其焦点的直线交曲线于两点，直线的倾斜角为，，则曲线的离心率满足等式： ④过双曲线(a>0，b>0)的右焦点作互相垂直的两条弦、，则； (3)以焦点弦为直径的圆必与对应准线相交． (4)以焦点半径为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切． (5)准线性质：直线过焦点与双曲线交于两点，直线是与焦点相对应的准线，点是准线与轴的交点，则． 3．斜率之积：双曲线第三定义：． (1)双曲线周角定理：直线过椭圆的对称中心且交双曲线：＝1(a>0，b>0)于两点(称为中心弦)，点为双曲线上异于的一点，则(其中均存在且不为0)； (2)双曲线垂径定理：(即中点弦斜率)直线交双曲线：＝1(a>0，b>0)于两点，点为弦的中点，则． 4．双曲线的切线问题 (1)切线条数： ①如图(1)所示，如果点P位于区域I，则过P可以向双曲线左右两支各作一条切线； ②如图(2)所示，如果点P位于区域II，则过P可以向双曲线一支作两条切线； ③如果点P位于区域IⅢ，则过P不能作双曲线的切线； ④如果点P位于原点，则过P不能作双曲线的切线； ⑤如图(3)所示，如果点P位于渐近线上(非原点处)，则过P可以向双曲线作一条切线； ⑥如图(4)所示，如果点P位于双曲线上，则过P可以向双曲线作一条切线． (2)双曲线的切线方程：已知点是双曲线：＝1(a>0，b>0)上一点，则双曲线在点处的切线方程是； (3)双曲线的切点弦方程：若点是双曲线：＝1(a>0，b>0)外一点，过点作双曲线的两条切线，切点为，则切点弦的直线方程是； (4)若点为双曲线：＝1(a>0，b>0)内一点，过点作双曲线的弦，分别过作双曲线的切线，则这两条切线的交点的轨迹方程为． (5)若是双曲线不垂直于对称轴的切线，为切点，则． (6)双曲线中的阿基米德三角形： 设双曲线的弦为，过两点作双曲线的切线交于点，称为阿基米德三角形, 则有： 性质①：弦绕者定点转动时，则其所对顶点落在直线上． 其中, 当点为左 (右) 焦点时，点位于左 (右) 准线上． 性质②：直线的斜率成等差数列, 即． 性质③：当点为焦点时, ． (7)若为双曲线的焦点弦，则过作椭圆的切线的交点必在相应的准线上； (8)双曲线的准线与实交于点，过作双曲线的两条切线，切点分别为，则切点弦就是双曲线的通经． (9)如果一个双曲线虚半轴长为b，焦点F1、F2到直线的距离分别为d1、d2，则 ①，且F1、F 2在 异侧直线L和双曲线相切,或是双曲线的渐近线. ②，且F1、F2在L异侧直线 和双曲线相离， ③，或F1、F2在L同侧直线L和双曲线相交. (10)双曲线的两条斜率之积是的切线交点的轨迹方程是 (11)过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直． (12)过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直． (13)双曲线的切渐三角形：已知点为双曲线上任意一点，过点的切线交双曲线的渐近线于两点，则有： ①为中点，即； ②； ③； ④； ⑤； ⑥过点作两渐近线的平行线并交两渐近线于两点，则 ． 5．双