第六章实数讲义2022-2023学年人教版数学七年级下册

第六章 平方根、立方根与实数 1、平方根的概念：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根．这就是说，如果（a≥0），那么x叫做a的平方根．即：x =±. 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 2、算术平方根的概念：一般地，如果正数x的平方等于a，（a≥0）即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为． 3、算术平方根的性质：双重非负性：a≥0，≥0； 4、立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数就叫做的立方根或三次方根. 即如果，那么叫做的立方根.即：x = 一个数的立方根用符号“”表示，读作“三次根号”其中是被开方数，3是根指数.取任意数，都有意义；根指数3不可以省略不写；任何一个数都有唯一的一个立方根，且正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 5、立方根的性质：互为相反数的立方根仍然互为相反数，即=（a取任何数） 6．实数的分类： 7．有理数：任何一个有理数总可以写成的形式，其中p、q是互质的整数，这是有理数的特征． 8．无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如、；特定结构的不限环无限小数，如1.101001000100001……；特定意义的数，如π等． 练习1．求下列各数的平方根和算术平方根： 144 121 169 0 平方根： 算术平方根： 练习2．下列说法中正确的是（　　） A．的算术平方根是±4 B．12是144的平方根 C．的平方根是±5 D．a2的算术平方根是a 例1．若，求的值. 1．若x、y为实数，且，则的值为（ ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 2．若，则的平方根是______． 3．已知与互为相反数，则ab的值为（ ）． A．4 B．-4 C．﹣16 D．16 4．求下列各数的值． 5．下列说法中，错误的是（ ）. A．4的算术平方根是2 B．的平方根是±3 C．8的立方根是±2　　　　　　 D．立方根等于-1的实数是-1 例2．已知一个正数的两个平方根分别是2a﹣1和a﹣5，求这个正数的值． 1．一个正数m的平方根是n+2与n﹣6，则下列正确的是（　　） A．m=2，n=1 B．m=1，n=2 C．m=16，n=2 D．m=8，n=2 例3．已知2a﹣1的算术平方根是3， a+b+4的立方根是2，求3a﹣b的平方根． 例4．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+2b+4的立方根是3，求a+b的算术平方根． 1．已知a+1的算术平方根是1，a+b﹣2的平方根是±2，c+1的算术平方根是2，求a+b+c的平方根． 2．已知的算术平方根是3，，试求的值． 3．已知，a是倒数是它本身的数，b是绝对值最小的数，c是相反数是本身的数，d是平方根和立方根都是本身的数，求的值． 4．探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题： a ··· 0．0001 0．01 1 100 10000 ··· ··· 0．01 x 1 y 100 ··· （1）表格中x=　　　　　　；y=　　　　　　； （2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知≈3．16，则≈　　　　　　；②已知=1．8，若=180，则a=　　　　　　； （3）拓展：已知，若，则x=　　　　　　． 例5．解方程（1）（x+1）2=36； （2） 1．实数 ， ， ， ， 其中无理数有（ ） A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 2．在，，3．14，，，0．3030030003······（每两个3之间依次多一个零）中，无理数的个数有（ ） A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个 3．在﹣，π，，0.10010001这些数中，无理数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 例6．计算： （1）+（）2+； （2）+﹣|2﹣|； （3）|﹣2|﹣+（﹣1）×（﹣3） （4）（﹣1）2019+|1﹣|﹣ 例7．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？