5.4.3正切函数的性质与图象 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.4.3 正切函数的性质与图像 学习目标 （1）会做正切函数的图象，借助图象理解正切函数在 上的性质； （2）通过正切函数图像与性质的探究，培养学生数形结合和类比的思想方法． 问题：角的正切是如何定义的？在单位圆中该如何表示？ 一、复习回顾 二、探究新知 思考1: (1)根据研究正弦函数、余弦函数的经验,你认为 应该如何研究正切函数的图象与性质？ (2)你能用不同的方法研究正切函数吗？ 部分性质 → 图像 → 性质 . 由诱导公式1 正切函数是周期函数，周期 正切函数是奇函数,原点(0,0)是其对称中心. 由诱导公式2 思考2：你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？ 新知探究 问题1 类比函数y＝sinx，x∈ [0，2π]图象的绘制过程，如何画出函数y＝tanx，x∈[0， )的图象呢？ 追问1 函数y＝sinx，x∈ [0，2π]的图象是根据正弦函数定义的几何意义，用几何描点法绘制的．那么正切函数定义的几何意义是什么？画图解释． 答案：如图所示，设x∈[0， )，在直角坐标系中画出角x的终边与单位圆的交点B（x0，y0）．过点B作x轴的垂线，垂足为M则tanx＝ ＝ ．① 三 绘制图像 7 新知探究 追问2 ①式显然不方便描点．要完成描点任务，对比正弦函数与正切函数的几何意义，你认为前者为什么方便描点？在①式的基础上，如何优化正切函数的几何意义？ 答案：正弦函数的几何意义是角的终边与单位圆交点的纵坐标，只是一条线段，通过平移此线段很容易描出一个点的纵坐标，而正切函数的几何意义是两条线段的长度比，不利于描点．应该在①式的基础上，设法优化这个比，使它在数值上也可以表示为一条线段，即让分母中的线段数值上为1．于是得到： 8 新知探究 过点A(1，0)作x轴的垂线与角x的终边交于点T，则 tanx＝ ＝ ＝ ＝AT．② 由②式可知，当x∈[0， )时，线段AT的长度就是相应角x的正切值．因此可以利用线段AT画出函数y＝tanx，x∈[0， )的图象． 9 O1 O 追问3 请你利用②式，通过描点画出函数y＝tanx，x∈[0， )的图象．并观察图象有哪些特征？ 观察图象可知：当x∈[0，)时，随着x的增大，线段AT的长度也在增大，而且当x趋向于 时，AT的长度趋向于无穷大．相应地，函数y＝tanx，x∈[0，)的图象从左向右呈不断上升趋势，且向右上方无限逼近直线x= ，但不会与该直线相交． 1 -1 问题2：你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图像吗？正切函数的图像有怎样的特征？ 1 -1 根据正切函数的周期性，只要把函数y＝tanx，x∈(－ ， )图象向左、右平移，每次平移π个单位， 就得到 y＝tanx，x∈R，且x≠ ＋kπ，k∈Z的图象， 我们把它叫做正切曲线(tangent curve)． 性质总结 定义域 值域 R 奇偶性 奇函数 周期性 周期为 最小正周期为 单调性 对称性 性质 根据图象，请你试着总结正切函数的性质 不通过求值,比较下列各组中两个正切函数值的大小: 例1 三、典例剖析 例2 所以原函数的周期是2. 所以原函数的单调递增区间是 三、典例剖析 题后反思　y=tan(ωx+φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx+φ看成一个整体,解- +kπ<ωx+φ< +kπ,k∈Z即可.当ω<0时,先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间. 1.本节课你学习了哪些基本知识？ 2.本节课你学会了哪些思想方法？ 数形结合思想、整体代换思想 正切函数 y=tanx 的图象与性质 五、课堂小结 作业：(1)课本P213 习题5.4 5、6题 (2)做完《一线课堂》对应习题 设 是一个任意角，它的终边 与单位圆相交于点 ．把点 的纵坐标 与横坐标 的比值叫做 的正 切函数，记作 ，即 ． 可以先考察函数 ，的图象与性质， 然后再根据奇偶性、周期性进行拓展． 根据正切函数是奇函数，只要画 ， 的图象关于原点的对称图形，就可得到 ， 的图象． 解：（1）由 得 ．如右图所示， 在 内，满足上述不等式 的取值范围是 ．又 的周期为 ，所以不等式 成立的 的取值范围为 ． （1） ；（2） ． （2）由 得 ． 如右图所示，在 内，满足 上述不等式 的取值范围是 ． 又 的周期为 ，所以不等式成 立的 的取值范围为 ． 解y=tan=-tan. 由-+kπ<x-+kπ(k∈Z),得-π+4kπ<x<3π+4kπ,k∈