重难点培优06 圆中的辅助线-2023-2024学年九年级数学上册考点剖析及精准练习（人教版）

重难点培优06圆中的辅助线 题型一 有弦可连半径 1．直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是 ． 2．如图，已知：和为的两条直径，弦，弧的度数为，则 度.    3．如图，点，点，点在上，分别连接，，．若，，则 ．    4．如图所示，是半径为3的上的两点．若是的中点，则四边形的周长为 ．    5．如图，已知圆O的弦与直径交于点，且平分． (1)已知，，求圆O的半径； (2)如果，求弦所对的圆心角的度数． 6．已知：如图， 是的直径，点C、D在上，于E，于F，且，与相等吗?为什么?    7．如图，为的弦，于点于点．若，求证：．    有弦可连半径，作用： ①连接圆心和弦的两个端点，利用半径相等构造等腰三角形； ②连接圆周上一点和弦的两个端点，根据圆周角的性质得到相等的圆周角。 题型二 有弦可作弦心距 8．如图，已知的半径为2，、在直径的同侧半圆上，，，动点在直径上，则的最小值是 .    9．已知在中，设半径为，弦，则此弦所对的圆周角的度数为 ． 10．如图，A、B、C为上的点，，连接，交于点D，若，，则的长为 ．    11．如图，是的外接圆，，若点O到的距离为2，则BC的长为 ．    12．如图，都是的半径，．    (1)求证：； (2)若，，求的半径． 13．如图，是的直径，、分别在两个半圆上（不与、点重合），，若．    (1)求的度数． (2)求的长． 14．如图，的直径，弦，的平分线交于    (1)判断的形状，并说明理由； (2)求点到弦的距离 (3)求的长 有弦可作弦心距，作用： ①利用垂径定理求值； ②利用圆心角及其所对的弧、弦、弦心距的关系； ③利用弦的一半，弦心距和半径组成的直角角形，根据勾股定理求有关量。 题型三 有直径可构造直角 15．如图，已知的直径，则的长为（　　） A．5cm B．5cm C．5cm D．6cm 16．如图，是圆的直径，，是上的两点，连接，相交于点，若，那么的度数为（　　）    A． B． C． D． 17．如图，是半圆的直径，两点都在圆上，且，，则等于（    ）．    A． B． C． D． 18．如图是的直径，C，D是上的两点，若，则 ．    19．如图，为的直径，为的弦，连接、，若，则的度数为 度．    20．如图，为的直径，点C为半圆上一点，交于点D．    (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 21．如图，在中，，D为中点，以为直径作，分别交于点E，F．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 有直径可构造直角，作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。 题型四 有切点连半径证切线 22．如图，矩形中，＝13，＝6，点E是上的动点，以为直径的⊙O与交于点F，过点F作于点G． ​ (1)当E是的中点时：tan的值． (2)在（1）的条件下，证明：是圆O的切线． 23．已知四边形是平行四边形，且以为直径的经过点D．    (1)如图（1），若，求证：与相切； (2)如图（2），若，，交边于点F，交边延长线于点E，求的长； 24．如图，为的直径，平分，于，交于．    (1)求证：为的切线； (2)若，求的半径． 25．如图，是的直径，是弦，，延长到D，使．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 26．如图1所示，为的外接圆，为直径，、分别与相切于点D、C（）.E在线段上，连接并延长与直线相交于点P，B为中点. (1)证明：是的切线. (2)如图2，连接，，求证：. 27．如图，在中，，在上取一点D，以为直径作，与相交于点E，作线段的垂直平分线交于点N，连接．    (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为1，求线段的长． 28．如图，在中，，O是边上一点，以O为圆心，为半径的圆与相交于点D，连接，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为1，求的长， 有切点连半径：将该点与圆心连接，再证明该半径与直线垂直，即可判定切线 题型五 无切点作垂直证切线 29．如图，在正方形中，E是边上一点，若，以为直径作半圆．    (1)求证：与相切； (2)若正方形的边长为4，求图中阴影部分的面积． 30．如图，在中，，，的半径为3，求证：是的切线．    31．如图，已知等腰，，以点O为圆心作交边，于C，D两点，点C恰好为的中点，延长交于点E，连．    (1)求证：是的切线； (2)连接，若，求的长． 32．如图，在中，，的平分线交于点，为上的一点，，以为圆心，长为半径作，，．    (1)求证：是的切线； (2)求线段的长． 33．如图，，，的直径为6．求证：直线是的切线．    34．如图，为的直径，是