专题13 二次函数中代数+几何应用4种压轴题型全攻略（锐角三角比、取值范围、线段、面积）-【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学上册压轴题攻略(沪教版）

专题13 二次函数中代数+几何应用4种压轴题型全攻略（1） 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【考点一 二次函数中求锐角三角比的问题】 1 【考点二 二次函数中由几何特性求系数（线段）取值范围的问题】 2 【考点三 二次函数中有关线段长度的计算问题】 2 【考点四 二次函数中有关图形面积的计算问题】 3 【过关检测】 4 【典型例题】 【考点一 二次函数中求锐角三角比的问题】 【例题1】已知在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（2，2），对称轴是直线x=1，顶点为B． （1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标； （2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，联结AM，用含m的代数式表示∠AMB的余切值； 【变式1】如图，将矩形置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在边上，将沿折叠压平，使点落在坐标平面内，设点的对应点为点．    (1)如图，当时，抛物线过点、、，求抛物线解析式； (2)如图，随着的变化，点正好落在轴上，求的余切值； 【变式2】在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，其顶点为C．    (1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标； (2)求的正切值； 【变式3】如图，已知抛物线经过和两点，与x轴交于M、N两点（N在M的右侧），直线与x轴相交于点C，P是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点D．    (1)求该抛物线的表达式； (2)若点P与点N重合，连接，求的正弦值； 【考点二 二次函数中由几何特性求系数（线段）取值范围的应用】 【例题2】 在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B(如图)．抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A． （1）求线段AB的长； （2）如果抛物线y=ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC=，求这条抛物线的表达式； （3）如果抛物线y=ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围． 【变式1】如图，将矩形置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在边上，将沿折叠压平，使点落在坐标平面内，设点的对应点为点．    (1)如图，当时，抛物线过点、、，求抛物线解析式； (2)若点横坐标坐标为，抛物线且为常数的顶点落在的内部，求的取值范围． 【变式2】在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线（）与x轴交于点和，与y轴交于点．抛物线的顶点为点．    (1)求抛物线的表达式，并写出点的坐标； (2)将直线绕点顺时针旋转，交轴于点．此时旋转角等于． ①求点的坐标； ②二次函数的图象始终有一部分落在的内部，求实数的取值范围． 【变式3】在平面直角坐标系中，点在抛物线上． (1)当时， ①求该抛物线的表达式； ②将该抛物线向下平移2个单位，再向左平移m个单位后，所得的新抛物线经过点，求m的值； (2)若，且中有且仅有一个值大于0，请结合抛物线的位置和图象特征，先写出一个满足条件的b的值，再求b的取值范围． 【考点三 二次函数中有关线段长度的计算问题】 【例题3】在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处． （1）求这条抛物线的表达式； （2）求线段CD的长； 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=，EF⊥OD，垂足为F． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）； （3）当∠ECA=∠OAC时，求t的值． 【变式2】已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，顶点为点D．    (1)求抛物线的表达式和顶点D的坐标； (2)点P是线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，如果，求点P的坐标； (3)在第（2）小题的条件下，点F在y轴上，且点F到直线的距离相等，求线段的长． 【考点四 二次函数中有关图形面积的计算问题】 【例题4】已知抛物线与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧，点B在原点O右侧），与y轴交于点C，且．    (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，点D是抛物线上一点，直线恰好平分的面积，求点D的坐标； 【变式1】如图，在直角坐标平面中，点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上，，抛物线经过A、B、C三点． (1)求点A、B的坐标； (2)联结、、，当时， ①求抛物线表达式： ②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得?如果存在，求出所有符合条件的点P坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对