4.3.2 对数的运算（教学设计）-【上好课】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

教学单元 第四章 指数函数与对数函数 教学内容 4.3.2 对数的运算 教学目标 学习目标 1.理解对数的运算性质．(重点) 2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点) 3.会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．(易混点) 教学重难点 重点：掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件，在此过程中培养学生的数学抽象、数学运算的核心素养。 难点：掌握换底公式及换底公式的推导。 学情分析 学生已经学习了对数的概念与性质，根据对数与指数幂的对应关系，不难得出对数的运算性质。有了对数的运算性质之后，加强学生的运算能力的培养，此外，引导学生对学过的数学运算进行适当的整理和总结，从整体上理解数学运算是一个挑战。 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 情境导入 1619年,伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近（以e=2.71828...为底）. 对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响,正如科学家伽利略（1564-1642）说：“给我时间,空间和对数,我可以创造出一个宇宙”.又如十八世纪数学家拉普拉斯（ 1749-1827）亦提到：“对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍”. 最早传入我国的对数著作是《比例与对数》,它是由波兰的穆尼斯（1611-1656）和我国的薛凤祚在17世纪中叶合 编而成的.当时在lg2=0.3010中,2叫“真数”,0.3010叫做“假数”,真数与假数对列成表,故称对数表.后来改用 “假数”为“对数”. 我国清代的数学家戴煦（1805-1860）发展了多种的求对数的捷法,著有《对数简法》（1845）、《续对数简法》（1846）等.1854年,英国的数学家艾约瑟（1825-1905） 看到这些著作后,大为叹服. 【想一想】已知lg2=0.3010，你会求lg5的值吗？ 在引入对数之后，自然应研究对数的运算性质．你认为可以怎样研究？ 我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？ 提示：利用对数的运算性质. 由问题引发学生思考：从指数与对数之间的关系以及指数的运算性质中，得出其他相应对数的运算性质，培养学生数学抽象的核心素养。 新知讲授 【知识一：对数的运算性质】 1.对数的运算性质：一般地，如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 例3.求下列各式的值: 解： 52 19. 通过具体的例子，让加深学生对对数运算的理解及应用。 解： 通过具体的例子，让加深学生对对数运算的理解及应用 【知识二：对数的换底公式】 数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只有通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数。现在，利用计算器，也可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数。这样，如果能将其他底的对数转换为以10或e为底的对数，就能方便地求出这些对数。 1. 对数的换底公式 logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0) 2.换底公式的重要推论 (1)logaN＝(a>0，且a≠1；N>0，且N≠1)； (2)＝logab(a>0，且a≠1，b>0)； (3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1) 例5.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震M之间的关系为 2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？ 解：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为和.由，可得 ，. 于是， 利用计算工具可得， 虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出来的能量却 是后者的约32倍. 通过具体的例子，使学生掌握对数的换底公式. 课堂练习 （1）7 （2）1 （3）0 （4）-1 （1）lgx＋lgy＋lgz. （2）lgx＋2lgy-lgz. （3） （4） （1）1 （2） 通过课堂达标练习，巩固本节学习的内容。 课堂小结 1.说说两个同底的对数相加，相差，相除怎么