4.2 立方根（同步课件）-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

第4章 · 实数 4.2　立方根 1 学习目标 1. 了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根； 2. 了解开立方与立方是互逆的运算，会用立方运算求一些数的立方根； 3. 能运用立方根解决一些简单的实际问题. 传说中，公元前429年，一场瘟疫袭击了希腊第罗斯岛(Delos)，造成四分之一的人口死亡.岛民们推派一些代表去神庙请示阿波罗的旨意，神指示说：要想遏止瘟疫，得将阿波罗神殿中那正立方的祭坛加大一倍.人们便把每边增长一倍送到神那儿，于是神更加发火，他说，你们竟敢愚弄我！我要加倍惩罚你们！第罗斯岛人只好去求救于当时著名的学者柏拉图. 数学小故事 倍立方问题 开始，柏拉图和他的学生认为这个问题很容易,试图用尺规作图作出它，均告失败，最后才发现这是一个尺规作图不能成功的问题. 探索与交流 想一想, 要做一个体积是原来祭坛的2倍的新祭坛,它的边长应是原来的多少倍？ 体积为1 体积为2 体积 = 边长3 1 1 2 ？ 设体积为2的正方体的边长为x. x3 =2，x=？ 类比平方根的定义，说说你的猜想？ 就是研究当x3=a时，x是什么数？ 一般地，如果 x3＝a ，那么x叫做a的立方根，也称为三次方根． 立方根的定义： 概念学习 23=8 ____是8的立方根 2 33=27 ____是27的立方根 3 立方根用什么符号表示呢？ 8的立方根是2 27的立方根是3 3 读作： 三次根号 记作： 记作： x3 =2，x= 定义：求一个数的立方根的运算叫做开立方. 概念学习 开立方与立方互为逆运算，所以可以通过立方运算来求一个数的立方根. x3 ＝ a x 立方 a 开立方 立方根 幂 a x 检验x是不是a的立方根，只要看x3是不是等于a即可. (1) ∵ 43=64， ∴ 64的立方根是4，即=4. (2)∵(-)3 = -，∴-的立方根是-，即 = -. (3) 9的立方根是. (4) ∵ 0.63=0.216， ∴ 0.216的立方根是0.6，即=0.6. (5) ∵(-3)3=-27，所以-27的立方根是-3，即= -3. 例题讲解 例1 求下列各数的立方根： （1）64； （2）- ； （3）9 （4）0.216 （5）(-3)3 解： 新知巩固 -27，0.008，，-1，0.064，4. 1.写出下列各数的立方根： = -3， = 0.2， = ， =-1， = 0.4， . 解： (1);　 (2)±; 　(3); 　(4). 2.求下列各式的值. 新知巩固 = ， (2)± =± 0.6， (3)=−10， ==. 解： 新知巩固 (3)(x-1)3=125. 3.求下列各式中的x: (1)8x3=27； (2)-27x3=64； (3) ∵ 53=125， ∴ x-1=5， ∴ x=6. 解： (1)两边同时除以8，得 x3= . ∵()3= ， ∴x= . (2)两边同时除以-27，得 x3=-. ∵ = -， ∴ x= -. 立方根与平方根的区别与联系： 平方根 立方根 区 别 联系 关 系 名 称 概念不同 如果x2＝a (a≥0)，那么x叫做a的平方根，也称为二次方根． 如果 x3＝a ，那么x叫做a的立方根，也称为三次方根． 个数不同 一个正数有两个平方根，它们互为相反数. 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根 表示方法不同 ± 被开方数的取值范围不同 被开方数是非负数，即 a≥0 被开方数是任意数 运算关系 开方运算与相应的乘方运算互为逆运算 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究 类比归纳 0 0的平方根和立方根都是0 例2 把一个长12 cm，宽9 cm，高2 cm的长方体铁坯加工成一个正方体铁锭后，表面积有什么变化？(加工过程中无损失) 解：长方体的表面积为(12×9+9×2+12×2)×2=300(cm2). 设正方体的棱长为x cm，则 x3=12×9×2，解得x=6 . ∴正方体的表面积为6×62=216(cm2) . 300-216=84(cm2)， ∴表面积减少了84 cm2. 例题讲解 新知巩固 1.两个球形探空气球的体积分别约为5 120 m3和80 m3，试计算它们的半径比（球的体积公式：V球=R3，R为球的半径). 解：由球的体积公式可知： 2. 已知a+1的算术平方根是3，﹣27的立方根是b-12，c-3的平方根是±2. 求：(1)a，b，c的值；(2)a+4b﹣4c的立方根． 解：(1)∵a+1的算术平方根是3， ∴a+1=9，a=8； ∵-27的立方根是b-12， ∴b-12