专题3-4 双曲线大题综合10种题型归类（讲+练）-【巅峰课堂】2023-2024学年高二数学热点题型归纳与培优练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题 3.4 双曲线大题归类 · 一、热考题型归纳 · 【题型一】双曲线中点弦 · 【题型二】双曲线韦达定理基础型 · 【题型三】五个方程转化型 · 【题型四】双曲线中直线过定点 · 【题型五】双曲线直线过定点：斜率和定值型 · 【题型六】双曲弦直线过定点：斜率积定值型 · 【题型七】 双曲线中的定制线型 · 【题型八】 双曲线中的定值 · 【题型九】 双曲线与圆过定点 · 【题型十】 最值范围型 · 二、培优练 热点考题归纳 【题型一】双曲线中点弦 【典例分析】 已知点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)是否存在过点的直线l与双曲线相交于A,B两点，且满足P是线段的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 【提分秘籍】 A,B是双曲线C:－＝1 (a>0，b>0)上两点，M为A,B中点，则（可用点差法快速证明） 【变式演练】 （2023春·云南保山·高二校联考期末）设双曲线的焦距为6，点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)已知的右焦点为是直线上一点，直线交双曲线于两点（在第一象限），过点作直线的平行线与直线交于点，与轴交于点，证明：为线段的中点. 【题型二】双曲线韦达定理基础型 【典例分析】 已知点，，动点满足直线与的斜率积为，记的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程，并说明是什么曲线； (2)已知直线：与曲线交于两点，且在曲线存在点，使得，求的值及点的坐标. 【提分秘籍】 利用韦达定理解决双曲弦与直线相交的问题 （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 【变式演练】 已知双曲线为坐标原点,离心率,点在双曲线上 (1)求双曲线的方程; (2)如图,若斜率为的直线过双曲线的左焦点,分别交双曲线于两点,求的值,并求出外接圆的方程 【题型三】五个方程转化型 【典例分析】 设双曲线，F是右焦点，O是坐标原点． (1)若过和F的直线与C的一条渐近线垂直，求C离心率e的值； (2)若直线l过F且交双曲线右支于A，B两点，已知的最大值为，求当取得最大时直线l的方程． 【变式演练】 （2023·重庆巴南·统考一模）在平面直角坐标系中，已知点、，的内切圆与直线相切于点，记点M的轨迹为C. (1)求C的方程； (2)设点T在直线上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，连接.若直线的斜率与直线的斜率之和为0，试比较与的大小. 【题型四】双曲线中直线过定点 【典例分析】 已知F1（，0），F2（，0）为双曲线C的两个焦点，点在双曲线C上． (1)求双曲线C的方程； (2)已知点A，B是双曲线C上异于P的两点，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，若，证明：直线AB过定点． 【提分秘籍】 过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； （2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 【变式演练】 已知双曲线的离心率为，两条准线间的距离为. (1)求C的标准方程； (2)斜率为k的直线l过点，且直线与C的两支分别交于点A，B， ①求k的取值范围； ②若D是点B关于x轴的对称点，证明：直线AD过定点. 【题型五】双曲线中直线过定点：斜率和定之型 【典例分析】 （2023·全国·高二专题练习）已知点为双曲线上一点，的左焦点到一条渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)不过点的直线与双曲线交于两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线过定点，并求该定点的坐标. 【提分秘籍】 定点问题解决步骤： (1)设直线代入二次曲线方程，整理成一元二次方程； (2)根与系数关系列出两根和及两根积； (3)写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积； (4)整理(3)所得表达式探求其恒成立的条件． 【变式演练】 （2023秋·江西宜春·高三统考开学考试）已知双曲线，四点，，，中恰有三点在双曲线上. (1)求的方程； (2)设直线不经过点且与相交于两点，若直线与直线的斜率的和为证明：过定点. 【题型六】双曲线中直线过定点：斜率积定值型 【典例分析】 已知椭圆的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)设点是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，若，试问直线是否经过定点，若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由. 【提分秘籍】 求定点问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定点，再证明这个值与