1.4空间向量的应用-立体几何中的动点问题教学设计-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

立体几何中的动点问题 一、教学内容及其解析 1.内容 本节课是在学习了《空间向量与立体几何》这章的基础上的综合课，讨论立体几何中的动点轨迹问题. 2.内容解析 立体几何中的动点问题，是以空间中线线、线面、面面位置关系为基础，以空间向量的运算为手段，以常见的立体模型为载体，考查学生直观想象素养、逻辑推理素养、数学运算素养的一类综合性问题.动与静是相对的.在动点运动的过程中，要善于寻找或构造与之相关的一些不变量，将一些变化的点、线、面的关系、位置进行合理的转换，如将动直线与面的平行转换为动直线所在平面与已知平面的平行，或者是两条动的异面直线的垂直转换为一条直线与另一条动直线所在平面的垂直等等.化动为静，构建点、线、面的位置关系，是解决动点问题的一种常见方法，此外恰当建立空间直角坐标系，借助向量的运算，找到动点坐标所满足的代数关系式，从而判断动点满足的条件也是解决这类问题的常见方法. 3.知识结构图 基本问题 基本方法 基础知识 数学思想 立体几何中的动点问题 几何法 数形结合思想 向量法 立体几何中的平行垂直位置关系 存在性问题 范围、最值问题 4.育人价值 本节课，学生在点的运动过程中，体会事物变化的连续性，学会用运动变化的观念看问题；在平面的构建过程中，发展直观想象的数学素养；在特殊位置的确定过程中，体会特殊与一般的数学思想；在用向量法求解最值的过程中，体会函数与方程的思想；在动与静的转换过程中，体会事物之间的普遍联系和互相转化的辩证唯物主义观点. 5.教学重点 借助线线、线面、面面平行垂直的知识与空间向量的运算，解决立体几何中的动点问题 二、学情分析 1.认知基础：高一时，学生在学习必修教材时已经学习了立体几何中点线面的位置关系，会用几何法证明线线、线面、面面的平行与垂直，知道了空间中的三种角的概念，即异面直线所成角、线面角、二面角.升入高二后，学生在本学期前面的学习中学习了利用空间向量的方法解决立体几何中的问题，且初步学习了立体几何中的折叠问题以及存在性问题，为本节课的学习奠定了知识基础. 2.能力基础：学生拥有演绎、类比推理的能力,能够很好地利用立体几何中的相关定理进行证明与求解，运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题已经比较熟练.在高一学习立体几何的基础上，直观想象素养与逻辑推理素养进一步得到了发展和提升，且能够主动思考，建构新知，为本节课的学习奠定了能力基础. 三、教学目标及其解析 目标 达成目标的标志 通过建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量，找到动点坐标所满足的代数式，借助函数思想，通过消元解决取值范围的问题，发展逻辑推理素养与数学运算素养； 能够求出直线的方向向量以及平面的法向量，借助向量语言翻译问题中需要满足的位置关系，从而找到多个变量之间的关系实现消元，从而将立体几何中的动点问题转化为函数的取值范围（最值）问题，利用代数运算进行求解. 借助正方体模型中的线线、线面、面面关系，通过将图形还原到正方体模型中，构造平面，将低维度下的变量升维之后变成不变量，实现将动态的问题转化为静态问题，解决动点的轨迹问题，发展直观想象素养. 在动点轨迹不明确，与问题相关的点线面位置不容易确定时，能将几何图形放入正方体模型中，从而构造平面，将动态问题转化为静态问题，能够根据点的运动轨迹，解决取值范围或者最值问题. 四、教学问题诊断分析 认知基础 与将要达到水平的差异 难点 用向量方法解决平行与垂直的证明、空间角与空间距离的求解 合理的引入变量，通过线面、面面之间的位置关系进行代数运算，借助函数的思想，在不断消元的过程中，求解出目标变量的取值范围 借助空间向量的运算，解决与动点相关的变量的取值范围 对于立体几何图形中涉及到的已有的线面、面面之间的关系能够判断，正方体模型中的一些常用结论清楚 将立体图形还原回正方体模型，从而发现运动变化中的不变的性质，通过构造平面，将动态问题转化为静态问题 发现运动变化中的不变量 五、教学支持条件分析 利用 PPT 帮助学生建立本节课的知识结构图,使用 GeoGebra软件作图,体会运动变化的过程，帮助学生更加直观的解决数学问题,促进学生思维的发展. 六、课时教学设计 立体几何中的动点问题 （一）课时教学内容 通过构造平面升维或者利用空间直角坐标系，探究立体几何中的动点轨迹问题，解决最值问题 （二）课时教学目标 1.通过对立体几何中动点问题的探究，进一步巩固线线、线面、面面平行与垂直位置关系的判定与性质的应用； 2.通过构造平面的几何法、借助坐标计算的向量法、利用软件连续变化的极限法，探究动点的轨迹，解决存在性与取值范围（最值）问题，提升分析问题、解决问题的能力； 3.通过对问题思维过程的分析和问题的解决，提升数学