专题11 图形的相似培优题分类精练2（最大值最小值定值共30道）-2023-2024学年九年级数学上册专题训练+备考提分专项训练·2024精华版（湘教版）

专题11 图形的相似培优题分类精练2 （最大值最小值定值共30道） 【类型一 最大值】 1．如图，菱形，，点E为平面内一点，连接． (1)如图1，点E在的延长线上，将绕点A顺时针旋转60°得，交延长线于点G，连接交延长线于点H，若，，求的长； (2)如图2，点E在的延长线上，将绕点A逆时针旋转60°得，连接，点M为的中点，连接，，证明：； (3)如图3，将沿翻折得（），连交于点S，点T为平面内一点，当取得最大值时，连接，，若，求的最大值． 2．已知正方形的边长为6，动点分别在边上运动，连接．      (1)如图1，过作交边于点，交于点． i）若为的中点，为的中点，求的长； ⅱ）探索线段之间的数量关系，写出你的结论并证明． (2)如图2，将四边形沿翻折得到四边形与相交于点，调整点和点的位置使得线段始终经过顶点． i）若点到的距离，求的长； ⅱ）点到的距离是否存在最大值？若存在，请直接写出这个最大距离；若不存在，请说明理由． 3．如图1，中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，其中是点A的对应点，且，连接，．    (1)求证：； (2)如图2，当点在线段上时，求的面积； (3)直线与直线交于点D，点E是边的中点，连接，在旋转过程中，求的最大值． 4．如图，在中，，动点P从点B出发，在线段上以每秒5个单位长度的速度向终点C运动，连接．将沿直线翻折得到． (1)求的长； (2)当四边形为中心对称图形时，求t的值； (3)当点在下方时，连接，求此时面积的最大值； (4)当直线与一边垂直时，直接写出t的值． 5．在等腰三角形中，．点E为上一点，连接． (1)如图1，若，过点C作交BE延长线于点D，连接，过点A作交于点F，连接，求证：； (2)如图2，过A作交延长线于点D，将绕着点A逆时针旋转至，连接，使得于点G，与交于点M，若点M为的中点，且，猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，若，，将沿着翻折得到（），点落在BE延长线上，交于点P，点Q、R分别是射线、上的点，连接、、，满足，当取得最大值时，直接写出的最小值的平方． 6．如图1，在中，，，点、分别在边、上，且．连接，点、、分别为、、的中点．连接，，． (1)观察猜想： 图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是：______； (2)探究证明： 把绕点逆时针方向旋转到图2的位置．证明：(1)中的结论仍然成立； (3)拓展延伸： 把绕点在平面内自由旋转，若，．求面积的最大值． 7．【特例感知】 （1）如图1，已知和是等边三角形，直接写出线段与的数量关系是________； 【类比迁移】 （2）如图2，和是等腰直角三角形，，请写出线段与的数量关系，并说明理由． 【方法运用】 （3）如图3，若，点是线段外一动点，，连接．若将绕点逆时针旋转得到，连接，求出的最大值． 8．如图，在中，，为的角平分线． (1)如图1，若，求出的度数； (2)如图2，当时，将线段绕点顺时针旋转得线段．点是线段上一点，且，连接，当，请判断，与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，当时，为线段上一动点，为的中点，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段．为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，，．当最大时，直接写出的面积的最大值． 9．类比探究： 问题探究：（1）如图1，和为等腰直角三角形，，，连接、、，M、N、F分别为：、、的中点，连接，．问：线段与的关系：______． 方法迁移：（2）如图2，如果和换为一般直角三角形，，，，，其他条件不变，问题（1）结论是否成立，请证明你的结论． 拓展创新：（3）若，，其他条件与（2）中一致，连接，如果把绕着点A旋转一定的角度，的长度也会发生变化，请直接写出的最大值． 10．如图，在正方形中，点E在直线右侧，且，以为边作正方形，射线与边交于点M，连接、． (1)如图1，求证：； (2)若正方形的边长为4， ①如图2，当G、C、M三点共线时，设与交于点N，求的值； ②如图3，取中点P，连接，求长度的最大值． 【类型二 最小值】 11．如图，为等边三角形，点D为边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转角得线段，连接、，其中与交于点F．    (1)如图1，若D为中点，，，求的长； (2)如图2，若，猜想线段，的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折得，为的中点，连接，当最小时，在内找一点P，使的值最小，若，直接写出的最小值． 12．如图，已知是等边三角形，，点D为的中点，点E，F分别为边，上的动点（点E不与B，C重合），且． (1)求的取值范围； (2)若，求的长； (3)求的最小值． 13．在△中，，，为上一点． (1)如图1，过作于，连接．若平分，，求的长； (2)如图2，以为直角边，点为直角顶点，向右作等腰