第02讲 角、角的比较（重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年七年级数学上册重难点突破+分层训练同步精讲练（北师大版）

第02讲 角、角的比较（重难点突破） 【知识点一、角的概念】 1、角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做 ，这个公共端点是角的 ，这两条射线是角的两条 ．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的 ．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的 ． 说明：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 说明：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、 、60°、 等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于 ． 【知识点二、角度制及其换算】 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做 ． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 说明：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位． 【知识点三、角的比较与运算】 1.角的比较 角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的 ，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角 另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 2.角的和、差运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的 ，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的 ，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 说明：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 3.角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的 ．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 说明：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 【知识点四、方位角】 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示 的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 说明： （1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点． 【知识点五、钟表上有关夹角问题】 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． (一) 角的概念及表示 例1．下列图形中，能表示的是（    ） A．  B．  C．  D．   【变式训练1-1】、下列说法中正确的是（    ） A．平角就是一条直线 B．小于平角的角是钝角 C．平角的两条边在同一条直线上 D．周角的终边与始边重合，所以周角的度数是 【变式训练1-2】、如图，下列表示角的方法，错误的是（    ） A．与表示同一个角 B．也可用来表示 C．图中共有三个角：，， D．表示的是 (二) 角度制的换算 例2．换算 度 分 秒． 【变式训练2-1】、（角的换算）把用度、分、秒表示，正确的是