3.1.1 椭圆及其标准方程导学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.1 椭圆及其标准方程 ——2023-2024学年高二数学人教A版（2019） 选择性必修第一册 一、新知自学 1.椭圆的定义：平面内与两个定点，的距离的和等于 （大于）的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为 . 2.椭圆的标准方程： （1）焦点在x轴上的椭圆的标准方程是，焦点坐标 ，，其中 . （2）焦点在y轴上的椭圆的标准方程是 ，焦点坐标， ，其中. 二、问题思考 1.利用定义法求椭圆的标准方程（与椭圆有关的轨迹问题）的思路有哪些？ 2.求解与椭圆有关的最值问题有哪些方法？ 三、练习检测 1.已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点，则该椭圆的标准方程是( ) A. B. C. D. 2.若P是椭圆上一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则( ) A.1 B.3 C.5 D.9 3.（多选）平面上，动点M满足以下条件，其中M的轨迹为椭圆的是( ) A.M到两定点，的距离之和为4 B.M到两定点，的距离之和为6 C.M到两定点，的距离之和为6 D.M到两定点，的距离之和为8 4.已知椭圆的焦距为6，则k的值为___________. 5.已知椭圆的焦点分别为，，点P在椭圆上.若，则的大小为__________. 【答案及解析】 一、新知自学 1.常数 焦点 半焦距 2. 二、问题思考 1.（1）通过题干中给出的等量关系列出等式，然后化简等式得到对应的轨迹方程. （2）分析几何图形所表示的几何关系，然后对比椭圆的定义，设出对应椭圆的方程，求出a，b的值，得到标准方程. 2.（1）利用椭圆定义将涉及的线段转化到同一个三角形中，数形结合，由三角形三边之间的关系（如两边之和（差）与第三边的关系）求解. （2）考虑使用基本不等式或二次函数最值求解，无论采用哪种方法，都要保证等号成立的条件. 三、练习检测 1.答案：A 解析：因为椭圆两个焦点的坐标分别为和，所以.因为椭圆经过点，且焦点在x轴上，所以，所以，所以椭圆的标准方程为.故选A. 2.答案：A 解析：由椭圆方程变形得，所以椭圆长半轴的长为4.由椭圆的定义可得.又，所以.故选A. 3.答案：BD 解析：因为两定点，的距离为，所以选项A不符合椭圆定义，选项B符合椭圆定义； 因为两定点，的距离为，所以选项C不符合椭圆定义，选项D符合.故选BD. 4.答案：11或29 解析：由已知得3，所以或，所以或. 5.答案： 解析：，.在中，，. 学科网（北京）股份有限公司 $$