3.1.2 椭圆的简单几何性质导学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.2 椭圆的简单几何性质 ——2023-2024学年高二数学人教A版（2019） 选择性必修第一册 一、新知自学 椭圆的简单几何性质 标准方程 焦点位置 及坐标 焦点在x轴上 ， 焦点在y轴上 ， 图形 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点对称 顶点坐标 ，， ， ， ， ， 长、短轴长 长轴长 ，短轴长 离心率 二、问题思考 1.根据椭圆的几何性质求椭圆标准方程的方法步骤是什么？ 2.如何理解椭圆的离心率？ 3.如何研究直线与椭圆的位置关系？ 三、练习检测 1.已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，若的周长为18，长半轴长为5，则椭圆C的离心率为( ) A. B. C. D. 2.已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆C上，直线PA，PB的斜率分别为，，则( ) A. B. C. D. 3.（多选）如图所示，一个底面半径为4的圆柱被与其底面所成的角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列说法正确的是( ) A.椭圆的长轴长为8 B.椭圆的离心率为 C.椭圆的离心率为 D.椭圆的一个方程可能为 4.在直角坐标系Oxy中，椭圆C的中心为原点，焦点，在y轴上，离心率为，过的直线l交C于A，B两点，且的周长为16，那么椭圆C的方程为_________. 5.设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且，若，，则椭圆的两个焦点之间的距离为__________. 【答案及解析】 一、新知自学 二、问题思考 1.（1）基本思路是“先定型，再定量”，即先确定焦点的位置或对焦点的位置分类讨论. （2）根据焦点位置，利用待定系数法设出椭圆方程. （3）列出关于a，b或c的方程组，求出a，b的值. （4）写出方程. 2.（1）为椭圆的离心率，e的取值范围是，e的大小反映椭圆的扁平程度，e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆. （2）椭圆的离心率可以形象地理解为：在椭圆的长轴长不变的前提下，两个焦点离开中心的程度，这样规定会给今后研究圆锥曲线的统一性等性质带来方便. 3.（1）研究直线与椭圆的位置关系，可联立直线与椭圆的方程，消元后用判别式讨论. （2）求直线被椭圆截得的弦长，一般利用弦长公式，对于与坐标轴平行的直线，直接求交点坐标即可求解. （3）有关弦长的最值问题，可以运用二次函数性质、一元二次方程的判别式、基本不等式等来求解. 三、练习检测 1.答案：B 解析：设焦距为2c.因为的周长为18，所以，所以.因为长半轴长为5，即，所以，所以椭圆C离心率.故选B. 2.答案：A 解析：由题意知，. 设，则，，P为椭圆C上一点，，即，，.故选A. 3.答案：BD 解析：由题意易知椭圆的短半轴长，因为截面与底面所成的角，所以椭圆的长轴长，则，所以，离心率.当以椭圆的中心为原点，椭圆的长轴所在直线为x轴，短轴所在直线为y轴建立平面直角坐标系时，椭圆的方程为.故选BD. 4.答案： 解析：由题意设椭圆的方程为.由椭圆的定义知的周长为4a，所以，解得.因为离心率为，所以，则，所以椭圆的方程为. 5.答案： 解析：不妨设椭圆的标准方程为，由题意知，.，，不妨设点C的坐标为.点C在椭圆上，，，，，则椭圆的两个焦点之间的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $$