1.1.2 空间向量的数量积运算 导学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1.2空间向量的数量积运算 班级 姓名 【学习目标】 1.能说出向量夹角的概念，数量积的定义及投影向量的概念； 2.结合课本例题能准确理解向量的数量积、模长及夹角区分异面直线所对角； 3.利用向量的数量积，求解投影向量，空间距离； 4.能在空间几何体中利用向量的数量积解决垂直关系的证明. 自学天地 知识点一　空间向量的夹角 定义 如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 范围 ≤〈a，b〉≤ 向量垂直 如果〈a，b〉＝ ，那么向量a，b互相垂直，记作a b 知识点二　空间向量的数量积运算 1．(1)空间向量的数量积 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0. (2)运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 2.投影向量及直线与平面所成的角 (1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②)． (2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 知识点三　空间向量数量积的性质 (1)若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0； (2)a·a＝|a|2或|a|＝＝； (3)若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝； (4)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a，b共线时等号成立)． 例1 空间向量数量积的概念 （1）对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （2）如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角． 跟踪训练1：设、为空间中的任意两个非零向量，有下列各式： ①；②；③；④. 其中正确的个数为（       ） A． B． C． D． 例2 空间数量积运算 如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点．求： （1） ；（2）；（3）；  （4）；（5）；（6）． 跟踪训练2：如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为，且两两夹角为.求： （1）的长； （2）与夹角的余弦值. 例3 综合应用 如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，D，E分别是OC，AB的中点，记，，. (1)用向量表示向量； (2)求证. 跟踪训练3：如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段．又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长． 1 2 学科网（北京）股份有限公司 $$