第一章 1.1 集合的概念与表示-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

§1　集合 1.1　集合的概念与表示 [学习目标]　1.通过实例了解集合与元素的含义，利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题，能判断元素与集合的属于关系．2.初步掌握集合的表示方法——列举法、描述法、区间，感受集合语言的意义和作用．3.会用集合的表示方法表示一些简单集合． 知识点一　集合的概念 观察下面的语句： (1)平面内到定点O的距离等于2的所有的点； (2)方程x2－1＝0的所有实数根； (3) 1～10之间的所有偶数； (4)2 023级北京大学所有的大一新生； (5)地球上的四大洋． 以上各语句中所研究的对象分别是什么？研究对象确定吗？研究的对象有相同的吗？ 提示：以上各语句中所研究的对象分别为平面内到定点O的距离等于2的所有的点的轨迹为圆、±1、2，4，6，8，10、2023级北京大学大一新生、太平洋，印度洋，大西洋，北冰洋．研究的对象确定，研究的对象没有相同的． 1．集合：一般地，我们把指定的某些对象的全体称为集合，通常用大写英文字母A，B，C，…表示． 2．元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小写英文字母a，b，c，…表示． [微提醒]　(1)集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义． (2)集合中的元素可以为数、点、图形、人或物等． (多选)下列每组对象，能构成集合的是(　　) A．中国各地最美的乡村 B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C．一切很大的数 D．清华大学2023年入学的全体学生 BD　[A，中国各地最美的乡村，无法确定集合中的元素，故A不能；C，一切很大的数，无法确定集合中的元素，故C不能；根据集合元素的确定性可知BD能构成集合．故选BD.] 　　方法技巧 判断一组对象能否组成集合的标准 　判断一组对象能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合中的元素． 即时练1．(多选)下列说法中，正确的是(　　) A．“不超过20的非负数”构成一个集合 B．“正三角形的全体”构成一个集合 C．“全体很大的自然数”构成一个集合 D．“函数y＝图象上所有的点”构成一个集合 ABD　[A，B，D中都有明确的标准，C中“很大”标准不明确．] 知识点二　集合的基本属性 设集合A表示“1～10之间的所有整数”，3和－4是集合A中的元素吗？ 提示：3是集合A中的元素，即3属于集合A，－4不是集合A中的元素，即－4不属于集合A. 1．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的(确定性)、互不相同的(互异性)、顺序任意的(无序性)． 学生用书第2页 2．元素与集合的关系 关系 说法 记法 属于 元素a属于集合A a∈A 不属于 元素a不属于集合A a∉A 3．常用的数集及表示符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集 符号 N N＋或N* Z Q R R＋ [微提醒]　(1)符号“∈”“∉”一般只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向． (2)集合含参问题注意利用互异性检验． (1)(多选)(2023·福建省漳州市期中)下列关系中正确的有(　　) A．∈Z B．0∈N* C．∈Q D．π∉Q (2)(2023·北京期末)已知不等式x－a＞0的解集为集合A，若1∈A，则实数a的取值范围是 ． 解析：(1)对A：Z表示整数集，＝3是整数，故A正确；对B：N*表示正整数集，0不是正整数，故B错误；对C：Q表示有理数集，是有理数，故C正确；对D: π是无理数，故D正确．故选ACD. (2)由1∈A，得1－a＞0，解得a＜1，故答案为a＜1. 答案：(1)ACD　(2)a＜1 变式探究 1．(变条件)若本例(2)中的条件1∈A变为1∉A，其余条件不变，则实数a的取值范围是 ． 解析：由1∉A，得1－a≤0，解得a≥1. 答案：a≥1 2．(变条件和结论)已知集合A中的元素为2，4，6, 当a∈A时，6－a∈A，则a为(　　) A．2 B．4 C．0 D．2或4 D　[集合A中含有3个元素2，4，6，且当a∈A时，6－a∈A， 当a＝2∈A时，6－a＝4∈A，则a＝2； 当a＝4∈A时，6－a＝2∈A，则a＝4； 当a＝6∈A时，6－a＝0∉A；综上所述，a＝2或4.故选D.] 　　方法技巧 判断元素和集合关系的方法 　直接法：首先明确集合是由哪些元素构成的，然后判断该元素在已知集合中是否出现即可． 推理法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可． 即时练2.(多选)下列关系中，正确的是(　　) A．－∉Z B．π∉R C．|－|∈Q D．0∈N AD　[因为Z是整数集，故－