第七章 培优微课9 几种特殊事件概率的计算方法-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

类型一　互斥事件概率的计算 甲、乙两人进行围棋比赛，记事件A为“甲获得比赛胜利或者平局”，事件B为“乙获得比赛胜利或者平局”，已知P(A)＝0.7，P(B)＝0.4. (1)求甲获得比赛胜利的概率； (2)求甲、乙两人获得平局的概率． 解析：甲、乙两人进行围棋比赛，所有的可能基本事件有：甲获得胜利、乙获得胜利、甲乙平局，分别记作事件I1，I2，I3，且I1，I2，I3互斥，则“甲获得比赛胜利或者平局”为事件I1，I3的和事件，“乙获得比赛的胜利或者平局”为I2，I3的和事件，由互斥事件的和事件概率公式得：， 又P(I1)＋P(I2)＋P(I3)＝1，所以P(I1)＝0.6， P(I2)＝0.3，P(I3)＝0.1. (1)甲获得比赛胜利的概率为P(I1)＝0.6. (2)甲、乙两人获得平局的概率为P(I3)＝0.1. 　　方法技巧 　　对于复杂的互斥事件的概率的计算，首先应分析清楚复杂的事件是由几个基本事件构成，然后分别计算每个基本事件的概率，从而得到复杂事件的概率． 即时练1．在投掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都是.事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A∪B (__)发生的概率是(　　) A． B． C． D． C　[易知事件A与事件B (__)互斥，且P(A)＝，P(B)＝，所以P(A∪B (__))＝P(A)＋P(B (__))＝P(A)＋1－P(B)＝＋1－＝.故选C.] 即时练2．某人参加一项抽奖游戏，盒中放有红、蓝、绿、黄四色小球各1个，参加游戏的人需有放回地从盒中连续摸两次，每次摸出1个小球，并记录小球的颜色(其中红色、黄色为暖色；蓝色、绿色为冷色)．设两次记录的颜色分别为a，b.奖励规则如下：①若两次记录的颜色中有红色，获得一等奖；②若两次记录的颜色中没有红色，但不全是冷色，获得二等奖；③其余情形获得鼓励奖．假设小球除颜色外其他都相同． 学生用书第181页 (1)求此人获得一等奖的概率； (2)比较此人获得二等奖与获得鼓励奖的概率的大小，并说明理由． 解析：(1)依题意得样本空间为{(红，红)，(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(黄，红)，(黄，黄)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(蓝，红)，(蓝，黄)，(蓝，蓝)，(蓝，绿)，(绿，红)，(绿，黄)，(绿，蓝)，(绿，绿)}，共有16个样本点，其中有红色的样本点有7个，所以此人获得一等奖的概率为. (2)由(1)得两次记录的颜色中没有红色，但不全是冷色的样本点有5个，则此人获得二等奖的概率为，获得鼓励奖的概率为1－－＝，故此人获得二等奖的概率大于获得鼓励奖的概率． 类型二　对立事件概率的计算 从甲、乙两人中选一人参加“书画艺术节”的志愿者活动．选人规则：一口袋内装有3个红球，2个白球(球除了颜色不同之外，其他完全相同)，从该口袋内随机取两次球，一次取出1个．若出现同色球，则甲去做志愿者，否则乙去做志愿者．方案一：放回式抽样法．方案二：不放回式抽样法．从公平的角度分析(甲、乙做志愿者的概率越接近越公平)，采用哪个方案选择志愿者较合理，并给出合理的理由． 解析：设甲去做志愿者为事件C，则乙去做志愿者为事件C (__).将3个红球分别记为a，b，c，2个白球分别记为A，B. 方案一： a b c A B a aa ab ac aA aB b ba bb bc bA bB c ca cb cc cA cB A Aa Ab Ac AA AB B Ba Bb Bc BA BB 基本事件总数为25，事件C包含的基本事件个数为13，所以P(C)＝，所以P(C (__))＝1－＝，d1＝＝. 方案二： a b c A B a ab ac aA aB b ba bc bA bB c ca cb cA cB A Aa Ab Ac AB B Ba Bb Bc BA 基本事件总数为20，事件C包含的基本事件个数为8，所以P(C)＝＝，所以P(C (__))＝1－＝，d2＝＝.因为d2＞d1，所以从公平的角度分析可知采用方案一选择志愿者较合理． 　　方法技巧 1．对于对立事件的概率的计算主要是“正难则反”，当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时，常常使用该公式转化为求其对立事件的概率． 2．该公式的使用，实际是运用逆向思维，比较适合含有“至少”、“至多”、“最少”等关键词语型题目． 即时练3．某工厂有A，B两条生产线，需要维护的概率分别为0.2，0.25，且A，B两条生产线是否需要进行维护是相互独立的，则至多有一条生产线需要维护的概率为(　　) A．0.95 B．0.45