第二章 函数 章末综合提升-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

章末综合提升 素养一　数学运算 　数学运算主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．本章中求函数的定义域、值域及解析式都体现学科素养中的数学运算． 体现1　求函数的定义域、值域 (1)若函数f(x)＝的定义域为R，则实数k的取值范围是(　　) A．(0，4) B．[0，4) C．[0，4] D．(0，4] (2)函数f的定义域为，则函数g(x)＝f·f的定义域为(　　) A． B． C． D． (3)下列函数中，值域为的是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 解析：(1)函数f(x)＝的定义域为R，可知kx2＋kx＋1＞0的解集为R， 若k＝0，则不等式为1＞0恒成立，满足题意；若k≠0，则解得0＜k＜4. 综上可知，实数k的取值范围是0≤k＜4.故选B. (2)由f的定义域为，可知f(x)的定义域为[－2，2]，即－2≤x≤2， 则函数g(x)＝f(x－2)·f(x－3)满足即解得1≤x≤4， 所以函数g(x)＝f(x－2)·f(x－3)的定义域为.故选A. (3)A选项，y＝≥0，故A不符合；B选项，y＝∈∪，故B不符合；C选项，y＝≥1，故C不符合；D选项，y＝的定义域为，当x＞1时，＞0，所以y＝＞0，故D符合．故选D. 答案：(1)B　(2)A　(3)D 学生用书第83页 体现2　求函数的解析式 (1)若函数f＝x2＋，且f＝4，则实数m的值为(　　) A． B．或－ C．－ D．3 (2)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，则f(x)＝ ． 解析：(1)令x＋＝t(t≥2或t≤－2)，x2＋＝2－2＝t2－2，所以f＝t2－2，f＝m2－2＝4，所以m＝±.故选B. (2)因为f(x)－2f(－x)＝1＋2x， 则f(－x)－2f(x)＝1－2x， 联立消去f(－x)整理得：f(x)＝－1＋x.] 答案：(1)B　 (2)－1＋x 素养二　直观想象 直观想象主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立数与形的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．本章主要体现在利用函数的图象研究函数的性质． 体现3　函数图象的识别 (1)函数f(x)＝的大致图象不可能是(　　) (2)函数y＝x－(0＜a＜1)的图象大致为(　　) 解析：(1)当a＜0时，f(x)的大致图象如选项A所示；当a＞0时，f(x)的大致图象如选项B所示；当a＝0时，f(x)的大致图象如选项D所示．故选C. (2)当x＞0时，f(x)＝x－为增函数，排除A，B，当x＝1时，f(1)＝1－a＞0，排除D，故选C. 答案：(1)C　(2)C 体现4　函数图象的应用 已知m是整数，幂函数f(x)＝x－m2＋m＋2在上是单调递增函数． (1)求幂函数f(x)的解析式； (2)作出函数g(x)＝的大致图象； (3)写出g(x)的单调区间，并用定义法证明g(x)在区间上的单调性． 解析：(1)由题意可知，－m2＋m＋2＞0，即－1＜m＜2. 因为m是整数，所以m＝0或m＝1；当m＝0时，f(x)＝x2；当m＝1时，f(x)＝x2. 综上所述，幂函数f(x)的解析式为f(x)＝x2. (2) 由(1)可知f(x)＝x2，则g(x)＝；函数g(x)的图象，如图所示： (3)由(2)可知，减区间为，；增区间为，. 当x∈时，g(x)＝＝x2－1. 设任意的x1，x2∈且x1－x2＞0， 则g－g＝－＝x－x＝， 又因为x1，x2∈且x1－x2＞0， 所以g－g＞0. 即g(x)在区间上单调递增． 素养三　逻辑推理 逻辑推理主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳类比；另一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎；本章中，函数单调性、奇偶性的判定及应用体现学科素养中的逻辑推理． 体现5　函数性质的应用 已知函数f(x)＝x＋，且f(1)＝2. (1)判断f(x)的奇偶性； (2)判断函数f(x)在上的单调性，并证明你的结论； (3)求函数f(x)在上的值域． 解析：因为f(x)＝x＋，且f(1)＝2，所以1＋m＝2，解得m＝1. (1)证明：函数f(x)为奇函数， 由题意得f(x)＝x＋，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 又f(－x)＝(－x)＋＝－(x＋)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数． (2)函数f(x)在上单调递增， 证明：设1≤x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝x2＋－＝(x2－x1)， 因为 1≤x1＜x2，所以x2－x1＞0，1－＞0，故f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)， 所以函数f(x)在上单调递增． (3)由(2)