第二章 2.1 函数概念-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

§2　函数 2.1　函数概念 [学习目标]　1.能通过观察、辨析具体实例的共同属性，逐步抽象出用集合的语言刻画的函数的概念．2.掌握函数的概念及函数的三要素．3.能求出一些简单函数的定义域及具体的函数值． 知识点一　函数的概念 请回答以下问题： 1．下面两个例子所给出的两个变量是函数关系吗？ (1)某“复兴号”高速列车运行速度到350 km/h后保持匀速运行半小时，这段时间内，列车行进的路程s(单位：km)与运行时间t(单位：h)的关系是函数关系吗？ (2)如图是某市某日的空气质量指数变化图．如何根据该图确定这一天内任一时刻t h的空气质量指数的值I？你认为这里的I是t的函数吗？ 提示：(1)是．s与t的关系可以表示为s＝350t，此时t的变化范围是数集A1＝{t|0≤t≤0.5}，s的变化范围是数集B1＝{s|0≤s≤175}，对于数集A1中的任一时刻t，按照对应关系s＝350t，在数集B1中都有唯一确定的路程s和它对应． (2)从图中的曲线可知，t的变化范围是数集A2＝{t|0≤t≤24}，I都在B2＝{I|0＜I＜150}中，对于数集A2中的任一时刻t，按照图中曲线所给定的对应关系，在数集B2中都有唯一确定的I与之对应，因此，这里的I是t的函数． 2．上述例子中的函数有哪些共同特征？ 提示：共同特征有：(1)都包含两个非空数集，用A，B来表示；(2)都有一个对应关系；(3)尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应． 学生用书第55页 3.你能说一说初中学习的一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域分别是什么吗？ 提示：一次函数的定义域是R，值域也是R，对应关系实际上就是f(x)＝ax＋b(a≠0)；二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R，当a＞0时，它的值域是；当a＜0时，它的值域是，对应关系实际上就是f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；反比例函数f(x)＝(k≠0)的定义域是{x|x≠0}，值域是{y|y≠0}，对应关系是f(x)＝(k≠0)． 函数的概念：给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中集合A称为函数的定义域，x称为自变量，与x值对应的y值称为函数值，集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域． [微提醒]　对于函数的定义，需注意以下几点： (1)A，B是非空的实数集，定义域是数集A，函数的值域是集合B的子集． (2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性． (3)函数符号“y＝f(x)”是一个整体，不表示y等于f与x的乘积． (4)函数三要素：定义域、对应关系与值域． 角度1　函数概念的理解 (1)(多选)下列对应关系f是定义在集合A上的一个函数的是(　　) A．A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的平方 B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数 D．A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，f：A中的数的2倍 (2)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出如图所示的四个图形： 其中，对应关系是定义在集合M上的一个函数的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：(1)A选项，(－1)2＝1，02＝0，12＝1，为一一对应关系，f是定义在集合A上的一个函数； B选项，±＝0，±＝±1，集合A中的元素1在集合B中有两个元素与之对应，不符合函数定义，f不是定义在集合A上的函数； C选项，A中的元素0的倒数没有意义，不符合函数定义，f不是定义在集合A上的函数； D选项，1×2＝2，2×2＝4，3×2＝6，4×2＝8，为一一对应关系，f是定义在集合A上的一个函数．故选AD. (2)①中，因为在集合M中当1＜x≤2时，在N中无元素与之对应，所以①不是；②中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以②是；③中，当x＝2时对应元素y＝3∉N，所以③不是；④中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以④不是．因此只有②是．故选B. 答案：(1)AD　(2)B 　　方法技巧 1．判断对应关系是否为函数的2个条件 (1)A，B必须是非空数集； (2)A中任意一个元素在B中有且只有一个元素与之对应； 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系． 2．根据图形判断是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x轴的直线l； (2)在定义域内平行移动直线l； (3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若