第八章 数学建模活动(一)-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

　　数学模型搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式． 　　数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建数学模型解决问题的过程，也是推动数学发展的动力． 　　数学建模活动是微科研，研究过程包括选题(选定研究的问题)、开题(报告研究问题的数学表达、拟解决问题的思路、计划、预期结果等)、做题(包括建立模型、求解模型、得到结论等)、结题(报告研究过程和研究结果等)四个环节． 一、走近数学建模 　　当你还是个小学生的时候，也许就接触过“一笔画”的智力游戏了．对于一个已知的几何图形，要求用笔不间断、不重复路线的方法一次性把它画完，就是“一笔画”．现在有人把它做成手机触屏游戏，在互联网上流传．不懂技巧的人玩起来就像迷路的司机，开着车转来转去，却始终找不到正确的方向，感觉很费神． 　　其实，一笔画问题即平面上由曲线段构成的一个图形能不能一笔画成，使得在每条线段上都不重复？例如汉字“日”和“中”字都可一笔画，而“田”和“目”则不能．我们可以构造一个多维空间的无穷个两两相连区域一笔画．大家对“签名”这个词一定都不陌生，拿起笔，刷刷几下，一个突显个性的签名就产生了．但是模仿签名就很困难．因为很多人的签名是一笔画成的，当你模仿时，连接处可能会有空隙，而且这个感觉跟一笔画出来的肯定是不一样的． 　　一笔画问题起源于哥尼斯堡居民提出的七桥问题．也就是在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普莱格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)．问是否可以从这四块陆地中央任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点？ 　　七桥问题提出来后很长一段时间，虽然人们很感兴趣，但是始终悬而未决．直到1735年欧拉向圣彼得堡科学院递交了《哥尼斯堡的七座桥》的论文，在解答问题的同时，开创了数学的一个新的分支——图论与拓扑学，也由此展开了数学史上的新历程． 　　数学大师欧拉从理论上给出了一笔画定理： 　　一笔画定理：一个由点和线组成的图形能一笔画完，必须符合以下两个条件： (1)图形是连在一起的，即是连通图形； (2)图形中的奇点个数为0或2. 下列图形中，可以一笔画的是哪些？ 学生用书第186页 二、数学建模的主要步骤 1．提出问题 司机在行驶中发现前方出现突发事件会紧急刹车，从司机决定刹车到车完全停住，汽车行驶的距离称为刹车距离，车速愈快，刹车距离愈长．汽车刹车距离由两方面组成：反应距离和制动距离． 2．建立模型 由上面的分析，可以得到一个用生活语言表述的模型： 停车距离＝反应距离＋制动距离①. 设d表示停车距离，d1表示反应距离，d2表示制动距离，用数学符号把上述模型表示为d＝d1＋d2.为了得到d1和d2的具体表达式，可以作下面的假设． 关于反应距离，假设反应距离是反应时间和汽车速度的函数．反应时间是指司机意识到应当急刹车到实施停车所需要的时间，汽车速度是指司机在实施急刹车之前汽车的速度．在一般情况下，反应距离d1与反应时间t和汽车速度v都成正比，把这个关系表示为d1＝αtv，其中α为正的特定系数．在现实生活中，可以知道反应时间t＞0，但很难确定具体数值．因此，最终只能确认反应距离与汽车速度成正比，即把这个关系写成d1＝αv，可以认为用α替代了αt. 关于制动距离，假设刹车受力大小近似等于汽车轮胎与路面的摩擦力，制动距离是刹车受力与汽车速度的函数． 若F表示刹车受力，则汽车急刹车时所做的功为Fd2.根据能量守恒定律得Fd2＝，其中m是汽车质量．另一方面，如果急刹车时的加速度是a，再根据牛顿第二定律得F＝ma.综合上面两个式子，可以得到mad2＝，即制动距离d2＝.也就是说，制动距离与汽车速度的平方成正比：d2＝βv2，其中β是待定参数．依据①式，得d＝d1＋d2＝αv＋βv2②. 3．求解模型 模型中的参数是至关重要的，一般来说不可能通过理论计算得到，因为在构建模型的过程中有许多因素没有也不可能考虑清楚．在现实模型中，参数值通常是通过统计方法得到的，是通过现实数据估计出来的．大体上有三种方法可以得到现实数据：调查、实验和试验． 为了估计急刹车的停车距离模型中的参数，需要通过试验的方法得到现实数据．表1是某公路局公布的试验数据，通过正比例关系d1＝αv和d2＝βv2，可以计算出表1每一行中相应的α和β的值． 表1　通过试验观察到的反应距离、制动距离与停车距离 v/(km·h－1) d1/m d2/m d/m α β 32 6.7 6.1 12.8 0.209 0.005 9 40 8.5 8.5 17.0 0.213 0.005 3 48 10.1 12.3 22.4 0.210 0.005 3 56 11.9 16.0 27.9 0.212 0.005 1 64 13.4