第一章 预备知识 章末综合提升-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

章末综合提升 学生用书第49页 素养一　数学抽象 数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养，主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法和思想，认识数学结构与体系．在本章中，主要表现在集合概念的理解及应用中． 体现1　与集合有关的新定义问题 (多选)给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a＋b∈M，且a－b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是(　　) A．集合M＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合 B．正整数集是闭集合 C．集合M＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合 D．若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合 ABD　换换换[A.当集合M＝{－4，－2，0，2，4}时，2，4∈M，而2＋4∉M，所以集合M不为闭集合． B．设a，b是任意的两个正整数，当a＜b时，a－b＜0不是正整数， 所以正整数集不为闭集合． C．当M＝{n|n＝3k，k∈Z}时，设a＝3k1，b＝3k2，k1，k2∈Z， 则a＋b＝3(k1＋k2)∈M，a－b＝3(k1－k2)∈M，所以集合M是闭集合． D．设A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝2k，k∈Z}， 由C可知，集合A1，A2为闭集合，2，3∈A1∪A2，而2＋3∉A1∪A2，此时A1∪A2不为闭集合．所以说法中不正确的是ABD.故选ABD.] 素养二　数学运算 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养，主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果．在本章中，主要表现在集合的交、并、补运算及一元二次不等式的求解问题中． 体现2　集合的运算 已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}． (1)若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围； (2)是否存在a，使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅. 解析：(1)因为A＝{x|0≤x≤2}， 所以∁RA＝{x|x＜0或x＞2}． 因为(∁RA)∪B＝R，画数轴如图所示， 所以即－1≤a≤0.所以a的取值范围为{a|－1≤a≤0}． (2)由(1)知当(∁RA)∪B＝R时，－1≤a≤0，而2≤a＋3≤3， 所以A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾．即这样的a不存在． 体现3　解一元二次不等式 解下列关于x的不等式： (1)－1＜x2＋2x－1≤2； (2)ax2＋(1－a)x＋a－2＜a－1(a∈R)． 解析：(1)原不等式等价于即 由①得x(x＋2)＞0，所以x＜－2或x＞0；由②得(x＋3)(x－1)≤0，所以－3≤x≤1. 将①②的解集在数轴上表示出来，如图． 求其交集得原不等式的解集为{x|－3≤x＜－2，或0＜x≤1}． (2)由题意可得ax2＋(1－a)x＋a－2＜a－1⇒ax2＋(1－a)x－1＜0， 当a＝0时，不等式可化为x＜1，所以不等式的解集为{x|x＜1}， 当a＞0时，ax2＋(1－a)x－1＜0⇒(ax＋1)(x－1)＜0⇒－＜x＜1，所以解集为， 当a＜0时，ax2＋(1－a)x－1＜0⇒(ax＋1)(x－1)＜0， ①当a＝－1时，解集{x|x≠1}， ②当－1＜a＜0时，解集为， ③当a＜－1时，解集为. 综上所述， 当a＜－1时，不等式的解集为， 当a＝－1时，不等式的解集为{x|x≠1}， 当－1＜a＜0时，不等式的解集为， 当a＝0时，不等式的解集为{x|x＜1}， 当a＞0时，不等式的解集为. 素养三　逻辑推理 逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养，主要表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出问题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流．本章主要表现在集合的基本关系、充要条件及全称量词命题和存在量词命题、不等式的证明及应用中． 体现4　充分条件与必要条件的探求及应用 已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|a＜x＜3a，且a＞0}， (1)若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围； (2)若命题“A∩B＝∅”为真命题，求实数a的取值范围． 解析：(1)由题意可得AB，所以且等号不同时取到，解得≤a≤2. 所以实数a的取值范围为. (2)因为命题“A∩B＝∅”为真命题，所以a≥4或3a≤2， 解得a≤或a≥4.又因为a＞0， 所以实数a的取值范围为. 学生用书第50页 体现5　全称量词命题与存在量词命题 已知命题p：∀x∈{x|－2＜x＜4}，恒有1－a＜x＜3a＋1成立，若p为真命题，求实数a的取值范围． 解析：设集合A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|1－a＜x＜3a＋1}， 由题意知，A⊆B，则有解得a≥3. 故实数a的取值范围为{a|a≥3}． 体现6　利用基本不等式求最值 解答下列各题： (1)若正数a，b满足＋＝2，求a＋b的