第一章 第一节 培优微课1 与集合有关的创新问题-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

以集合为背景的创新问题是考查创新题型的一个热点，此类问题多以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，常在创新集合定义、运算、性质等方面命题，考查考生理解问题、解决创新问题的能力． 类型一　创新集合定义 (1)若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是(　　) A．1 B．3 C．7 D．31 (2)(2023·湖南常德月考)对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{y|y≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，则A*B＝(　　) A．(－3，0)∪(3，＋∞) B．[－3，0)∪(3，＋∞) C．[－3，＋∞) D．[3，＋∞) 解析：(1)因为当－1∈A时，则∈A；当2∈A时，则∈A；当∈A时，则＝2∈A， 所以集合M＝的所有满足伙伴关系集合定义的元素有3个，那么A＝{－1}或A＝或A＝. (2)由A＝{y|y≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，得A－B＝{x|x＞3}，B－A＝{x|－3≤x＜0}，所以A*B＝(A－B)∪(B－A)＝[－3，0)∪(3，＋∞)．故选B. 答案：(1)B　(2)B 　　方法技巧 　　创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识，来解决新定义的集合创新问题，遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质；按新定义的要求，“照章办事”逐步分析、验证、运算，使问题得以解决． 即时练1.(2023·安徽安庆月考)若A＝，B＝，定义A*B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，则A*B＝(　　) A．∪ B．∪ C． D．(0，1] B　换换换[A＝＝， B＝＝{x|0＜x≤1}， A∪B＝，A∩B＝，所以A*B＝∪.故选B.] 即时练2.在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合B＝{x|－3＜x＜4，x∈Z}，则A∩B的子集个数为(　　) A．3 B．4 C．7 D．8 D　换换换[依题意，A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，B＝{－2，－1，0，1，2，3}，故A∩B＝{1，2，3}，故A∩B的子集个数为8.故选D.] 类型二　创新集合运算 (1)(2023·湖南长沙月考)设S是实数集R的一个非空子集，如果对于任意的a，b∈S(a与b可以相等，也可以不相等)，a＋b∈S且a－b∈S，则称S是“和谐集”．则下列命题中为假命题的是(　　) A．存在一个集合S，它既是“和谐集”，又是有限集 B．集合{x|x＝k，k∈Z}是“和谐集” C．若S1，S2都是“和谐集”，则S1∩S2≠∅ D．对任意两个不同的“和谐集”S1，S2，总有S1∪S2＝R 学生用书第14页 (2)(多选)(2023·江苏南京月考)我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A的补集为∁SA＝{x|x∈S且x∉A}，类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A且x∉B}，叫作集合A和B的差集，记作A－B，例如：A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则有A－B＝{1，2，3}，B－A＝{6，7，8}，下列解析正确的是(　　) A．已知A＝{4，5，6，7，9}，B＝{3，5，6，8，9}，则B－A＝{3，7，8} B．如果A－B＝∅，那么A⊆B C．已知全集、集合A、集合B关系如上图中所示，则B－A＝A∩∁UB D．已知A＝{x|x＜－1或x＞3}，B＝{x|－2≤x＜4}，则A－B＝{x|x＜－2或x≥4} 解析：(1)A项中，若S＝{0}，则满足S是“和谐集”，又是有限集，故A项为真命题； B项中，设x1＝k1，x2＝k2，k1，k2∈Z，则x1＋x2＝(k1＋k2)∈S，x1－x2＝(k1－k2)∈S，所以集合{x|x＝k，k∈Z}是“和谐集”，故B项为真命题； C项中，根据已知条件，a，b可以相等，故任意“和谐集”中一定含有0，所以S1∩S2≠∅，故C项为真命题； D项中，S1＝{x|x＝2k，k∈Z}，S2＝{x|x＝3k，k∈Z}，S1，S2都是“和谐集”，但5不属于S1，也不属于S2，所以S1∪S2不是实数集，故D项为假命题．故选D. (2)A：由B－A＝{x|x∈B且x∉A}，故B－A＝{3，8}，错误； B：由A－B＝{x|x∈A且x∉B}，则A－B