第一章 第四节 培优微课3 破解不等式“恒定立”与“能成立”问题-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理，数学运算等素养． 类型一　“Δ”法解决恒成立问题 (1)若关于x的不等式ax2－2ax－2＜0恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．[－2，0] B．(－2，0] C．(－2，0) D．(－∞，－2)∪(0，＋∞) (2)若不等式＜1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(1，3) B．(－∞，1) C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(3，＋∞) 解析：(1)当a＝0时，不等式成立；当a≠0时，不等式ax2－2ax－2＜0恒成立，等价于所以－2＜a＜0.综上，实数a的取值范围为(－2，0]．故选B. (2)因为4x2＋6x＋3＝4＋＞0恒成立，所以＜1恒成立⇔2x2＋2mx＋m＜4x2＋6x＋3恒成立⇔2x2＋(6－2m)x＋(3－m)＞0恒成立， 故Δ＝(6－2m)2－4×2×(3－m)＜0，解得：1＜m＜3.故选A. 答案：(1)B　(2)A 　　方法技巧 1．如图①一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集为R⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴上方⇔ymin＞0⇔ 2．如图②一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集为R⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴下方⇔ymax＜0⇔ 即时练1.若集合A＝{x|ax2－ax＋1≤0}＝∅，则实数a的取值集合为(　　) A．{a|0＜a＜4} B．{a|0≤a＜4} C．{a|0＜a≤4} D．{a|0≤a≤4} B　换换换[当a＝0时，不等式等价于1≤0，此时不等式无解；当a≠0时，要使原不等式无解，应满足解得0＜a＜4；综上，a的取值范围是[0，4)．故选B.] 即时练2.已知关于x的不等式ax2＋4ax－3＜0. (1)若不等式的解集为{x|x＜－3或x＞－1}，求a的值； (2)若不等式的解集是R，求a的取值范围． 解析：(1)当a＝0时，不等式化为－3＜0，解集为R，不合题意，舍去； 当a≠0时，因为一元二次不等式ax2＋4ax－3＜0的解集为{x|x＜－3或x＞－1}， 所以－3，－1是相应方程ax2＋4ax－3＝0的两根，且a＜0. 所以解得a＝－1.综上可知：a＝－1. (2)当a＝0时，不等式化为－3＜0，在R上恒成立，符合题意； 若a≠0，由关于x的一元二次不等式ax2＋4ax－3＜0的解集为R， 得解得－＜a＜0.综上，a的取值范围是. 学生用书第46页 类型二　数形结合法解决恒成立问题 当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，求m的取值范围． 解析：令y＝x2＋mx＋4. 因为y＜0在[1，2]上恒成立． 所以x2＋mx＋4＝0的根一个小于1，另一个大于2. 如图，得 所以解得m＜－5， 所以m的取值范围是{m|m＜－5}． 　　方法技巧 　　结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴，区间端点的函数值或函数图象的位置(相对于x轴)关系求解．可结合相应一元二次方程根的分布解决问题． 即时练3.已知关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0，3]恒成立，则有(　　) A．m≤－4 B．m≥－3 C．－3≤m＜0 D．－4≤m＜0 A　换换换[因为关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0，3]恒成立，所以m≤(x2－4x)min， 令y＝x2－4x＝(x－2)2－4，x∈(0，3]，所以当x＝2时，y＝x2－4x取得最小值－4，所以m≤－4.故选A.] 类型三　分离参数法解决恒成立问题 (1)若不等式x2＋ax＋1≥0在x∈[－2，0)时恒成立，则实数a的最大值为(　　) A．0 B．2 C． D．3 (2)已知函数y＝x2－(a＋1)x＋a. ①当a＝2时，求关于x的不等式y＞0的解集； ②若y＋2x≥0在区间(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围． 解析：(1)不等式x2＋ax＋1≥0在x∈[－2，0)时恒成立，即不等式a≤－＝－x－在x∈[－2，0)时恒成立．又因为(－x)＋≥2 ＝2，当且仅当－x＝，即x＝－1时，等号成立，所以a≤2，所以实数a的最大值为2.故选B. (2)①当a＝2时，则y＝x2－3x＋2，由y＞0，得x2－3x＋2＞0， 令x2－3x＋2＝0，解得x＝1或x＝2. 所以原不等式的解集为(－∞，1)∪(2，＋∞)． ②由y＋2x≥0即x2－ax＋x＋a≥0在(1，＋∞)上恒成立，得a≤， 令t＝x－1(t＞0)，则＝＝t＋＋3≥2＋3, 当且仅当t＝，即x＝＋1时取等号，所以a≤2＋3.故实数a的取值