第一章 2.2 第2课时 全称量词命题与存在量词命题的否定-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

第2课时　全称量词命题与存在量词命题的否定 [学习目标]　1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 知识点一　全称量词命题的否定 在我们的生活中有时会出现一些命题的否定，假设我们要否定命题“所有水生动物都用鳃呼吸”，可以这样做：画出表示用鳃呼吸的动物的集合，并包含表示所有水生动物的集合，如图(1)所示，那么此图就表示“所有水生动物都用鳃呼吸”． 再将图(1)中水生动物的集合部分地移出用鳃呼吸的动物的集合，如图(2)，那么此图就表示“并非所有水生动物用鳃呼吸”，即“一些水生动物不用鳃呼吸”．这就得到了原命题的否定． 可以看出，当我们否定一个含有全称量词的命题时，就会得到一个含有存在量词的命题． 你能再举一些社会生活或其他学科中命题的例子吗？并用图表示命题及该命题的否定． 提示：答案不唯一，举出生活中常见的一些实例即可． 全称量词命题的否定 全称量词命题 它的否定 结论 ∀x∈M， x具有性质p(x) ∃x∈M，x不具有性质p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 [微提醒]　写出一个全称量词命题的否定时，通常要将命题的两个地方进行改变，一是量词符号要改变，二是结论要进行否定． 学生用书第24页 写出下列全称量词命题的否定： (1)∀n∈Z，n∈Q； (2)任意奇数的平方还是奇数； (3)每个平行四边形都是中心对称图形． 解析：(1)∃n∈Z，n∉Q； (2)存在一个奇数的平方不是奇数； (3)存在一个平行四边形不是中心对称图形． 　　方法技巧 　　全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的命题可补上全称量词后进行否定． 即时练1.(2023·浙江温州期中)命题“∀x≥1，x2≥1”的否定形式是(　　) A．∀x≥1，x2＜1 B．∃x≥1，x2＜1 C．∀x＜1，x2＜1 D．∃x＜1，x2＜1 B　[命题“∀x≥1，x2≥1”为全称量词命题，其否定为：∃x≥1，x2＜1.故选B.] 即时练2.(2023·吉林长春月考)命题“对角线相等的四边形是等腰梯形”的否定可以是(　　) A．对角线相等的四边形不是等腰梯形 B．有的对角线相等的四边形不是等腰梯形 C．任何对角线相等的四边形都是等腰梯形 D．并非对角线相等的四边形都是等腰梯形 B　[命题“对角线相等的四边形是等腰梯形”为全称量词命题，其否定为：有的对角线相等的四边形不是等腰梯形．故选B.] 知识点二　存在量词命题的否定 类比全称量词命题的否定，写出下列命题的否定，并观察它们与原命题在形式上有什么变化？ (1)存在一个实数的绝对值是正数； (2)有些平行四边形是菱形； (3)∃x∈R，x2－2x＋3＝0. 提示：这三个命题都是存在量词命题，即具有“∃x∈M，s(x)”的形式．其中命题(1)的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数； 命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形； 命题(3)的否定是“不存在x∈R，x2－2x＋3＝0”，也就是说，∀x∈R，x2－2x＋3≠0. 从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题． 存在量词命题的否定 存在量词命题 它的否定 结论 ∃x∈M，x具有性质p(x) ∀x∈M，x不具有性质p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 [微提醒]　写出一个存在量词命题的否定时，通常要将命题的两个地方进行改变，一是量词符号要改变，二是结论要进行否定． [记结论]　命题的否定总结起来就八个字“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对结论进行了否定． 写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假． (1)有的无限小数是有理数； (2)某些平行四边形是正方形； (3)∃x∈R，x2＋1＜0. 解析：(1)命题的否定是“所有的无限小数都不是有理数”．它为假命题． (2)命题的否定是“所有的平行四边形都不是正方形”，由于正方形是平行四边形，因此命题的否定是假命题． (3)命题的否定是“∀x∈R，x2＋1≥0”．它为真命题． 　　方法技巧 1．存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的命题可补上存在量词后进行否定． 2．判断命题否定的真假的方法 (1)命题与它的否定的真假情况是：一真一假． (2)判断命题的否定的真假，可以直接判断，也可转化为判断原命题的真假． 即时练3.(2023·北京月考)命题“∃x＞0，x2＋x＋1＜0”的否定为(　　) A．∃x＜0，x2＋x＋1≥0 B．∃x＞0，x2＋x＋1≥0 C．∀x≤0，x2＋x＋1≥0 D．∀x＞0，x2＋x＋1≥0 D　[“∃x＞0，x2＋x＋1＜0”的否定为：∀x＞0，x2＋x