第一章 2.2 第1课时 全称量词命题与存在量词命题-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

2.2　全称量词与存在量词 第1课时　全称量词命题与存在量词命题 [学习目标]　1.通过实例，理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词．2.了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题．3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假． 知识点一　全称量词命题 观察下列命题，它们是否为真命题？它们存在什么共同特点呢？ (1)任何一个实数乘以0都等于0； (2)所有的自然数都是正整数； (3)每一个实数都可以写成分数形式； (4)一切三角形的内角和都等于180°. 提示：(1)、(3)、(4)是真命题，(2)是假命题；命题中的“任何”、“所有的”、“每一个”、“一切”都是在指定范围内表示整体或全部的含义． 全称量词与全称量词命题 全称量词命题 在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题 全称量词 在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示，读作“对任意的”. 学生用书第21页 [微提醒]　(1)常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等． (2)全称量词命题含有全称量词，有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来． 下列命题是否为全称量词命题？若是，请指出全称量词，并判断其真假． (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)∀x∈R，x2＞0； (3)矩形的对角线相等． 解析：(1)是，省略了全称量词“任意一个”，真命题． (2)是，有全称量词“∀”，假命题． (3)是，省略了全称量词“任意一个”，真命题． 　　方法技巧 1．判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的，任意一个，一切，每一个，任给”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐藏的，要仔细辨别． 2．判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中每一个元素都要使结论成立，间接法就是找到一个元素使结论不成立即可． 即时练1.下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是(　　) A．实数都大于0 B．有些菱形是正方形 C．三角形内角和为180° D．有小于1的自然数 C　[实数都大于0，是全称量词命题，但不是真命题，所以A选项错误； 有些菱形是正方形，不是全称量词命题，所以B选项错误； 三角形内角和为180°，是真命题，也是全称量词命题，所以C选项正确； 有小于1的自然数，是真命题，但不是全称量词命题，所以D选项错误．故选C.] 即时练2.下列全称量词命题中真命题的个数为 个． ①对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab； ②二次函数y＝x2－ax－1与x轴恒有交点； ③∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|＞0. 解析：由(a－b)2≥0，即a2－2ab＋b2≥0，则a2＋b2≥2ab，①正确； 在二次函数y＝x2－ax－1中Δ＝a2＋4＞0，即x2－ax－1＝0恒有两个不等实根，故二次函数y＝x2－ax－1与x轴恒有交点，②正确； 当x＝0，y＝0时，x2＋|y|＝0，③错误．综上，正确的命题有2个． 答案：2 知识点二　存在量词命题 观察下列命题，它们是否为真命题？它们存在什么共同特点呢？ (1)有一个偶数是素数； (2)有些三角形是直角三角形； (3)存在实数x，使得x2＋x－1＝0. 提示：(1)、(2)、(3)都是真命题；命题中的“有一个”、“有些”、“存在”都有表示个别或一部分的含义． 存在量词与存在量词命题 存在量词命题 在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题 存在量词 在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示，读作“存在”. [微提醒]　(1)常见的存在量词还有 “对某些”“有的”等． (2)存在量词命题含有存在量词，有些存在量词命题中的存在量词是省略的，理解时需要把它补充出来． 指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假． (1)有的集合中存在两个相同的元素； (2)对任意的n∈Z，2n＋1是奇数； (3)存在一个x∈R，使＝0； (4)有些三角形不是等腰三角形． 解析：(1)是存在量词命题，由集合中元素的互异性可知，此命题是假命题． (2)是全称量词命题，∀n∈Z，2n＋1是奇数是真命题． (3)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题． (4)是存在量词命题，有些三角形不是等腰三角形是真命题． 学生用书第22页 　　方法技巧 全称量词命题与存在量词命题的辨析及其真假的判断 即时练3.(2023·四川成都月考)以下命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A．锐角三角形有一个内角是钝角 B．至少有一个实数x，使x2＝0