精品解析：吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

2023—2024学年东北师大附中高二年级数学科试卷 上学期期中考试 本试卷共3页、22小题，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域|书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角大小（ ） A. B. C. D. 2. 下列正确结论是 A. 事件A的概率的值满足 B. 如，则为必然事件 C. 灯泡合格率是，从一批灯泡中任取一个，这是合格品的可能性为 D. 如，则为不可能事件 3. 经过点并且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知事件A，B，C两两互斥，若，，，则（ ）． A. B. C. D. 5. 圆心在轴上，并且过点和的圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 6. 若是从四个数中任取的一个数,是从三个数中任取的一个数,则关于 的一元二次方程有实根的概率是 A. B. C. D. 7. 在棱长为的正四面体中，平面于，是的中点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆C：，点A是直线上的一个动点，过点A作圆C的两条切线，切点分别为P，Q，则线段PQ的长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知直线：和直线：，则下列结论正确是（ ） A. 存在实数k，使得直线的倾斜角为 B. 对任意的实数k，直线与直线都有公共点 C. 对任意的实数k，直线与直线都不重合 D. 对任意的实数k，直线与直线都不垂直 10. 已知点，点为直线上的任意一点，以为直径作圆，则下列说法正确的是（ ） A. 圆面积的最小值为 B. 圆恒过定点 C. 圆心的轨迹方程是 D. 若直线与圆相交，且所得弦长为时，圆面积为 11. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，事件表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是奇数”，则（ ） A. 与是互斥事件 B. 与互为对立事件 C. 发生的概率为 D. 与相互独立 12. 在棱长为的正方体中，、分别是棱、的中点，动点满足，，下列结论正确的是（ ） A. 当时，平面截正方体所得截面面积是 B. 当时，直线与直线所成角为 C. 当时，则点到平面的距离是 D. 设直线与平面所成角为，则 三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 已知经过、两点的直线l的方向向量为，则实数a的值为______． 14. 在一次投篮比赛中，甲、乙、丙三人投篮命中概率分别为，，，若每次投球三人互不影响，则在一次投球中，三人中至少有两人投篮命中的概率为______． 15. 已知点是所在平面内的任意一点，是平面外的一点，满足，则的最小值是______． 16. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B在圆心为C的圆上运动，且．若直线l：上至少存在两个点，使得成立，则实数m的取值范围为______． 四、解答题：本大题共6小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知直线过点且与直线：垂直． （1）求直线的方程； （2）若直线l经过，且过直线与的交点，求直线l的方程． 18. 在一次支教活动中，甲、乙两校各派出名教师参与活动，其中甲校派出2名男教师和1名女教师（记两名男教师为、，女教师为），乙校派出名男教师和名女教师（记男教师为，两名女教师为、）． （1）若从两校参加活动的教师中各任选名，写出所有可能的结果，并求选出的名教师性别相同的概率； （2）若从报名的名教师中任选名，求选出的名教师来自同一学校的概率． 19. 如图，在三棱锥中，是边长为2正三角形，，，D为AB上靠近A的三等分点． （1）若，求证：平面平面PCB； （2）当三棱锥的体积最大时，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值． 20. 甲、乙、