3.2.1单调性与最大（小）值第2课时 函数的最大（小）值课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2.1 单调性与最大(小)值—最值 (第2课时) 第三章 函数的概念与性质 [学习目标] 1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的最大(小)值,理解它的作用和实际意义.2.会根据问题的实际意义求函数的最大(小)值. 学习目标 情境导入 观察下列函数的图象,找出函数图象上的最高点或者最低点的坐标。 如何使用数学语言刻画函数图象的最低点和最高点? 即如何用“数”刻画“形”? 新知探究 二次函数的图象上有一个最低点,即都有当一个函数的图象有最低点时,我们就说函数有最小值. 5 你能以函数为例说明函数的最大值的含义吗? 新知探究 二次函数的图象上有一个最高点,即都有当一个函数的图象有最高点时,我们就说函数有最大值. 你能以函数为例说明函数的最大值的含义吗? 新知探究 最值 条件(I是函数f(x)的定义域) 几何意义 最大值(M) 最小值 (m) ②对于任意x∈I,都有f(x)≤M ①存在x0∈I,使得f(x0)=M 函数y=f(x)图象上 最高点的纵坐标 ②对于任意x∈I,都有f(x)≥m ①存在x0∈I,使得f(x0)=m 函数y=f(x)图象上 最低点的纵坐标 函数最大(小)值的定义 注:最大、最小值统称最值 提示:不一定.反例:f(x)=x既无最大值,也无最小值. 新知探究 1.若函数y=f(x)在区间[-2,2]上的图象如图所示,则此函数的最大值为 ,最小值为 . 2.函数f(x)=x2-2x+2(x∈[-1,2])的最小值为 ,最大值为 . 新知探究 练习巩固 例4:“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度(单位:)与时间(单位:)之间的关系为,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到)? 解:画出函数的图象. 显然,函数图象的顶点就是烟花上升的最高点, 顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻, 纵坐标就是这时距地面的高度. 练习巩固 例4:“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度(单位:)与时间(单位:)之间的关系为,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到)? 解:由二次函数的知识,对于函数,我们有:当时,函数有最大值 .于是,烟花冲出后是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度约为. 练习巩固 例5:已知函数,求函数的最大值和最小值. 解:,且,则: 由,得,, 于是,即. 所以,函数在区间上单调递减. 因此,函数在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值.在时取得最大值,最大值是;在时取得最小值,最小值是. 探索点一 图象法求函数的最值 【例1】(1)若函数f(x)在区间[-2,5]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是 ( ) A.-2,f(2) B.2,f(2)C.-2,f(5) D.2,f(5) 解析:由函数的图象知, 当x=-2时,有最小值-2; 当x=5时,有最大值f(5). 新知探究 (2)已知函数f(x)= 求f(x)的最大值、最小值. 解:作出函数f(x)的图象(如图). 由图象可知,当x=±1时,f(x)取得最大值1.当x=0时,f(x)取得最小值0.故f(x)的最大值为1,最小值为0. 新知探究 新知探究 新知探究 新知探究 新知探究 新知探究 新知探究 新知探究 新知探究 22 解答实际问题的一般步骤: (1)审题:审读实际问题,找出已知条件与未知条件,确定自变量和因变量的条件关系. (2)建模:建立数学模型,列出函数解析式. (3)求解:分析函数性质,利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围). (4)回归:数学问题回归实际问题,写出答案. 新知探究 小结 最值 条件(I是函数f(x)的定义域) 几何意义 最大值(M) 最小值 (m) ②对于任意x∈I,都有f(x)≤M ①存在x0∈I,使得f(x0)=M 函数y=f(x)图象上 最高点的纵坐标 ②对于任意x∈I,都有f(x)≥m ①存在x0∈I,使得f(x0)=m 函数y=f(x)图象上 最低点的纵坐标 函数最大(小)值的定义 常用的求函数最值的方法: (1)利用函数图像判断最值. (2)利用函数的单调性判断最值. 【思考】 (1) 任何函数f(x)都有最大值和最小值吗? (2)若函数f(x)≤M,则M一定是函数f(x)的最大值吗? 提示:不一定,只有在定义域内存在一点x0,使f(x0)=M时,M才是函数的最大值,否则不是. 解析:由图象知点(1,2)是最高点,故ymax=2.点(-2,-1)是最低点,故ymin=-1. 解析:因为f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-1,2],所以f(x)的最小值为f(1)=1,最大值为f(-1)=5. 图象法求最值的