第22章 二次函数 全章复习讲义 2023-2024学年人教版九年级数学上册

第22章 二次函数 全章复习 【学习目标】 　1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义； 　2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质； 　3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题； 　4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 【要点梳理】 要点一、二次函数的定义 一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. [注意] (1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b＝0，c＝0时，y＝ax2是特殊的二次函数． 例1下列函数中哪些是二次函数（）。 A y=ax2+bx+c B y=x2+x3+12 C y=(x+3)2-x2 D y=8-2x² 例2 若函数 是二次函数， 求m的值. 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 当时 开口向上 当时 开口向下 (轴) (0，0) 当时最小值 或者 当时最大值 或者 (轴) (0，) (，0) (，) () 要点二、二次函数的图象与性质 1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： 例3抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标为________. 例4已知二次函数y＝-x2+5,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________. 例5已知点都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 例6 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是(　　) 2. 二次函数图象的平移变换：上加下减，左加右减。 例7 将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移 2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是(　　) 例8若抛物线 y=－7(x+4)2－1平移得到 y=－7x2，则可能（ ） A.先向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位 C.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位 D.先向右平移1个单位，再向下平移4个单位 要点三 用待定系数法求二次函数表达式 　　(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式. 　　(2)顶点式：（a≠0）.已知抛物线顶点坐标、或者是对称轴、或者是最值时，优先选择顶点式，通常选择顶点式. 　　(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式： 　 　　（a≠0）.(由此得根与系数的关系：). 例9已知二次函数图象经过三点（-1，-5）,（0,4）和（1,1）, 求该函数的解析式。 例10已知抛物线的顶点坐标为（2,3）,且抛物线经过点（3,1）,求抛物线的解析式。 例11二次函数图象经过（-4,0）,（2,0）和（0,6）,求二次函数解析式。 要点四、二次函数与一元二次方程的关系 我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0. 函数，当时，得到一元二次方程.如果抛物线 y=ax2+bx+c与x轴有公共点,公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时,函数值是0,因此x=x0 是方程 ax2+bx+c=0的一个根．二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点. 这对应着一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的三种情况： 　　(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； 　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根； 　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根. 例12 如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有关系：h=20t-5t2 考虑以下问题： （1） 球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？ （2） 球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？ 要点五、利用二次函数解决实际问题 利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 　　利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： 　　(1)建立适当的平面直角坐标系； 　　(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； 　　(3)用待定