专题15 三角函数值的相关计算与应用（11大题型）-2023-2024学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题15 三角函数值的相关计算与应用（11大题型） 【题型目录】 题型一 求特殊角的三角函数值 题型二 特殊角三角函数值的混合运算 题型三 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 题型四 由计算器求锐角三角函数值 题型五 根据特殊角三角函数值求角的度数 题型六 已知角度比较三角函数值的大小 题型七 根据三角函数值判断锐角的取值范围 题型八 利用同角三角函数关系求值 题型九 求证同角三角函数关系式 题型十 互余两角三角函数的关系 题型十一 三角函数综合 【知识梳理】 【经典例题一 求特殊角的三角函数值】 1．（2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点为坐标原点，边在轴正半轴上，，反比例函数的图象经过点A，且交菱形对角线于点D，轴于点，则长为（    ）    A．1 B．3 C． D． 2．（2023·广东深圳·统考模拟预测）如图，，直线分别交于M，N两点，将一个含有角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若，则的余弦值为 ．    3．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校联考开学考试）（1）计算：． （2）计算：． （3）计算： （4）计算： 【经典例题二 特殊角三角函数值的混合运算】 1．（2023春·天津·九年级专题练习）下列计算错误的个数是（    ） ①；；③； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2023秋·山东济南·九年级统考期末）定义一种运算：，．例如：当，时，，则的值为 ． 3．（2023秋·江西宜春·九年级江西省丰城中学校考阶段练习）计算： (1)． (2) 【经典例题三 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】 1．（2022秋·广东梅州·九年级广东梅县东山中学校考期末）在中，、都是锐角，且，，则是（     ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 2．（2022·福建厦门·统考模拟预测）在等腰三角形中，，，点D是边上一点，若，则的度数为 ． 3．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在平面坐标系内，点，．点为轴上动点，求的最小值． 【经典例题四 由计算器求锐角三角函数值】 1．（2022·山东东营·模拟预测）若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下： 2 yx 3 － 16 ＝，按键的结果为m； 2ndF 6 4 － 2 x2 ＝，按键的结果为n； 9 ab/c  2  －  cos  60 ＝，按键的结果为k． 下列判断正确的是（    ） A．m＝n B．n＝k C．m＝k D．m＝n＝k 2．（2021春·九年级课时练习）运用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下： 则计算器显示的结果是 ． 3．（2023秋·九年级课时练习）用计算器求下列各式的值（精确到0.0001）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题五 根据特殊角三角函数值求角的度数】 1．（2023春·福建厦门·九年级校考阶段练习）如图，已知等腰三角形底边经过原点，顶点A、B分别落在反比例函数的图像上，另一个顶点C落在反比例函数的图像上，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（2023秋·山东威海·九年级山东省文登第二中学校联考阶段练习）在中，，，，则边的长为 ． 3．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在正方形中，E为边上的一动点，作交分别于两点，连接．    (1)若，求∠DEC的度数； (2)当E为的中点时． ①求证：F为的中点； ②若正方形的边长为，求的长． 【经典例题六 已知角度比较三角函数值的大小】 1．（2023秋·全国·九年级专题练习）三角函数之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（2021春·全国·九年级专题练习）若三个锐角满足，则由小到大的顺序为 ． 3．（2021春·全国·九年级专题练习）我们知道，锐角的三角函数值都是随着锐角的确定而确定、变化而变化的，如图所示. （1）试探索随着锐角度数的增大，它的三角函数值的变化规律； （2）根据你探索到的规律，试分别比较，，，角的正弦，余弦，正切值的大小. 【经典例题七 根据三角函数值判断锐角的取值范围】 1．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校联考开学考试）已知，则锐角的取值范围是（ 　） A． B． C． D． 2．（2022春·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD 中，O是对角线AC的中点，E为AD上一点，若，则AB的最大值为 ． 3．（2022春·九年级单元测试）（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和