数列求和 专题课件-2024届高三数学一轮复习

专题 数列求和 第二章　数　列 　　数列求和是数列问题中的基本题型，是数列部分的重点内容，在高考中也占据重要地位，它具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点.数列求和的方法主要有公式法、分组求和法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、并项求和法等. 一、公式法求和 公式法求和中的常用公式有 (1)等差、等比数列的前n项和 (2)四类特殊数列的前n项和 ②1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2. 二、分组求和法求和 典例突破 在等差数列{an}中,a2=4,a3+a4=17. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足b1=2,再从①bn+1=2bn;②2bn+1=bn;③bn+1=-bn这三个条件中任选一个作为已知,求数列{an+bn}的前n项和Tn. 反思感悟 某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和. 方法总结适合拆项分组求和法的两种数列 (1)通项公式为an= (其中数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列)的数列; (2)通项公式为{an+bn}({an},{bn}是等差数列或等比数列)的数列. 三、倒序相加法求和 A.1 B.2 C.2 021 D.2 022 答案 C　 反思感悟 (1)倒序相加法类比推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1＋an). (2)如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求其和可以用倒序相加法. 四、裂项相消法求和 裂项相消求和法就是把数列的各项变为两项之差,使得相加求和时一些正负项相互抵消,前n项和变成首尾若干少数项之和,从而求出数列的前n项和. 典例突破 已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)2n+1+2. (1)求数列{an}的通项公式; (1)解 由题意,a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)2n+1+2,① 当n≥2时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=(n-2)2n+2.② ①-②得nan=(n-1)2n+1-(n-2)2n,解得an=2n(n≥2). 当n=1时,a1=2满足上式. 所以an=2n(n∈N*). 反思感悟 (1)对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法，可用待定系数法对通项公式拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项. (2)常见的拆项公式有 五、错位相减法求和 (2022湖北十堰三模)已知数列{an}满足a1+3a2+5a3+…+(2n-1)an =(n-1)3n+1. (1)求{an}的通项公式; (2)在an和an+1之间插入n个数,使这n+2个数构成等差数列,记这个等差数 解(1)因为a1+3a2+5a3+…+(2n-1)an=(n-1)3n+1,① 当n=1时,a1=1, 当n≥2时,a1+3a2+5a3+…+(2n-3)an-1=(n-2)3n-1+1,② ①-②,得(2n-1)an=[(n-1)3n+1]-[(n-2)3n-1+1]=(2n-1)3n-1(n≥2). 所以an=3n-1(n≥2). 又因为当n=1时,上式也成立,所以{an}的通项公式为an=3n-1. 技巧点拨错位相减求和法的方法步骤 设{anbn}的前n项和为Sn,其中数列{an}为公差为d的等差数列,数列{bn}为公比为q(q≠1)的等比数列.则错位相减求和法的步骤如下. ∵Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn, ∴qSn=a1b2+a2b3+…+an-1bn+anbn+1. 两式相减得(1-q)Sn=a1b1+d(b2+b3+…+bn)-anbn+1 反思感悟 一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便于下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式. 六、并项求和法求和 典例突破 (1)已知数列{an}的前n项和Sn=1-4+7-10+13-16+…+(-1)n-1·(3n-2),则S11=(　　) A.46 B.-46 C.16 D.-16 (2)在数列{an}中,an+1=an+2(n+1),n∈N*,a1=2,则数列{(-1)n·an}的前50项和是　　　　.  答案 (1)C　(2)1 300　 解析 (1)因为Sn=1-4+7-10+13-16+…+(-1)n-1·(3n-2),所以S11=1-4+7-10+13-16+19-22+25-28+31=(1-4)+(7