立体几何和空间向量 综合模拟卷-2024届高三数学一轮复习

2023-2024年高三一轮复习立体几何和空间向量综合模拟卷 (测试时间:120分钟 满分:150分 测试范围:立体几何和空间向量) 1、 单项选择题(本题共8小题,每题5分,共40分) 1..如图所示,在直三棱柱中,,且,,,点在棱上,且三棱锥的体积为,则直线与平面所成角的正弦值等于( ) A. B. C. D. 2.在直三棱柱中,底面是等腰直角三角形, ,侧棱, ,分别是与的中点,点在平面上的射影是的重心,则点到平面的距离为( ) A. B. C. D. 3.如图,二面角的大小为,,分别在平面,内,,,,,,则( ) A. B. C. D. 4.在直三棱柱中,.、分别是、的中点,,则与所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 5.直三棱柱的各个顶点都在同一球面上,若,则此球的表面积为( ) A. B. C. D. 6如图正四棱锥,为线段上的一个动点,记二面角为,与平面所成的角为,与所成的角为,则( ) A. B. C. D. 7.已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上,球的体积为,则该正四棱锥的体积最大值为( ) A.18 B. C. D.27 8.点M是棱长为3的正方体中棱的中点,,动点P在正方形(包括边界)内运动,且平面,则的长度范围为( ) A. B. C. D. 2、 多项选择题(本题共4小题,每题5分,共20分。每题有多个选项,漏选可得2分,多选,错选,不选均不得分) 9已知、是两条不同的直线,、、是三个不同的平面.下列说法中正确的是( ) A.若,,,则 B.若,,则 C.若,,,则 D.若,,,则 10正方体的棱长为2,E,F,G分别为的中点,则( ) A.直线与直线垂直 B.直线与平面平行 C.平面截正方体所得的截面面积为 D.点C到平面的距离为 11如图所示,在长方体中,,点是棱上的一个动点,平面交棱于点,下列命题错误的是( ) A.四棱锥的体积恒为定值 B.存在点,使得平面 C.存在唯一的点,使得截面四边形的周长取得最小值 D.对于棱上任意一点,在棱上均有相应的点,使得平面 12如图,圆台的上、下底面圆半径分别为1、2,高,点S、A分别为其上、下底面圆周上一点,则下列说法中正确的是( ) A.该圆台的体积为 B.直线SA与直线所成角最大值为 C.该圆台有内切球,且半径为 D.直线与平面所成角正切值的最大值为 3、 填空题(本题共4小题,每题5分,共20分) 13.四棱柱中,,则_. 14在棱长为1的正方体中,E在棱上且满足,点F是侧面上的动点,且面AEC,则动点F在侧面上的轨迹长度为 . 15正四棱台高为2,上下底边长分别为2和4,所有顶点在同一球面上,则球的表面积为 . 16已知正方体的棱长为2,点E是棱的中点,点在平面内,若,,则的最小值为_. 四、解答题(共6小题,17题10分,18-22题每题12题,共70分,每题要写出必要的证明,演算过程,推论或步骤) 17如图,直三棱柱中,分别是的中点,. (1)证明:平面; (2)求二面角的余弦值. 18如图,在四棱锥中,底面为正方形,、、、分别为、、、的中点. (1)证明:平面; (2)若平面平面,为等边三角形,求二面角的正弦值. 19如图,为圆锥的顶点,是圆锥底面的圆心,四边形是圆的内接四边形,为底面圆的直径,在母线上,且,,. (1)求证:平面平面; (2)设点为线段上动点,求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 20.如图,在三棱柱中,、分别为、的中点,,,. (1)求证:平面; (2)求二面角的正弦值; (3)已知为棱上的点,若,求线段的长度. 21已知棱台,平面平面,,,,D,E分别是和的中点。 (Ⅰ)证明:; (Ⅱ)求与平面所成角的余弦值。 22.如图所示,四面体中,是正三角形,是直角三角形,是的中点,且. (1)求证:平面; (2)过的平面交于点,若平面把四面体分成体积相等的两部分,求二面角的余弦值. 2023-2024年高三一轮复习立体几何和空间向量综合模拟卷(答案) (测试时间:120分钟 满分:150分 测试范围:立体几何和空间向量) 1、 单项选择题(本题共8小题,每题5分,共40分) 1..如图所示,在直三棱柱中,,且,,,点在棱上,且三棱锥的体积为,则直线与平面所成角的正弦值等于( ) A. B. C. D. 由已知得底面,且, 所以,解得. 如图所示,以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系, 则、、、, 则,,. 设平面的法向量为, 则由可得,即,得,令,得, 所以为平面的一个法向量. 设直线与平面所成的角为, 则. 故选:C. 2.在直三棱柱中,底面是等腰直角三角形, ,侧棱, ,分别是与的中点,点在平面上的射影是的重心,则点到平面的距离为 A. B. C. D. 【分析】以所在直线分别为轴,建立空间