圆锥曲线之椭圆培优压轴专题讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

椭圆 椭圆的定义 我们把平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆． 图形 标准方程 范围 ； ； 顶点坐标 半轴长 离心率 对称性 a、b、c的关系 通径 焦点三角形 与椭圆有关的二级结论： 1. 已知，为椭圆的两个焦点，P是椭圆上的动点，则△PF1F2的面积 2. 已知，为椭圆的两个焦点，P是椭圆上的动点，则当点P为椭圆短轴的端点时，∠F1PF2最大 3. 已知A、B为椭圆长轴上的两个顶点，Q为椭圆上任意一点，则当点Q为椭圆短轴的端点时，∠AQB最大. 4. 已知M、N是椭圆上的两个动点，P是椭圆上异于M、N的一点，当M、N关于原点对称时，有 5. 已知A、B是椭圆上两个不重合的两点，P为弦AB的中点，则有 6. 设圆锥曲线C的焦点F在x轴上，过点F且斜率为k的直线l交曲线C于A、B两点，若，则 7.过椭圆外一点P(x0,y0)作椭圆的切线，则切点弦的方程为 典型例题 1． 圆锥曲线基本运算 例1若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为( ) A. (0,) B. (0,2) C.(1,) D.(0,1) 例2椭圆和具有( ) A.相同的率心率 B.相同的焦点 C.相同的顶点 D.相同的长、短轴 例3设P、Q分别是和上的点，则PQ两点间的最大距离是( ) A. B. C. 7+ D. 2． 离心率问题 例 1已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P，若，则椭圆的离心率是( ) A. B. C. D. 例2已知，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使，则椭圆离心率的取值范围是___________ 改1：若，则离心率的取值范围是_________ 改2：若,则离心率的取值范围是_________ 例3已知椭圆，长轴两端点为A、B，如果椭圆上存在一点Q满足∠AQB=120°，则这个椭圆的离心率为______ 例4已知椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上存在一点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为_______ 例5已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A、B两点，连接AF、BF，若AB=10，AF=6，则离心率e=_______ 3． 焦点三角形 例1 P为椭圆上一点，，为左右焦点，若，则三角形F1PF2的面积为________,P的纵坐标为______ 例2，为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，若三角形F1PF2的面积为9，则b=_____. 例3已知P是椭圆上的点，F1、F2分别是椭圆的左右焦点，若，则△F1PF2的面积为( ) A. B. C. D. 例4已知椭圆E：的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A、B两点，若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为( ) A. B. C. D. 例5设M、N分别为椭圆的长轴的两个端点，点P在椭圆上，则为( ) A. B. C. D. 例6椭圆C：的左右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1斜率的取值范围是( ) A. [] B.[] C.[] D.[] 例7 已知椭圆，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程. 例8已知椭圆上不同的三点A()、B(4，)、C()与焦点F(4,0)的距离成等差数列，若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k. 补充练习 1.椭圆的左右焦点F1、F2，焦距为2c，若直线与椭圆的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率为____ 2.设AB是椭圆P的长轴，点C在P上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则P的两个焦点之间的距离为_______ 3. 已知椭圆C:的离心率为，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A、B两点，若，则k=( )