4.1.2 无理指数幂教学设计-2023-2024学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

课 题 4.1.2 无理指数幂 授 课 人 王海军 单 位 永昌县第一高级中学 授课班级 金昌市一中 高一(5)班 授课时间 2023/10/25 内容分析 本节课教学内容选自湘教版《普通高中教科书·选择性必修第一册》第四章 幂函数、指数函数和对数函数 第1小节——实数指数幂和幂函数，本小节共4课时，本节课是第3课时. 本节课主要内容是将有理数指数幂的定义和运算法则推广到实数指数幂的定义和运算法则，为此必须解决无理数指数幂的问题.为了便于学生从数理上理解用有理数指数幂逼近无理数指数幂，为体现数学的严谨性设置了“有理数指数幂的基本不等式”，由“有理数指数幂的基本不等式”得到的两条重要结论，进而帮助学生建立和理解无理数指数幂，同时也为理解将要学习的幂函数、指数函数的单调性作了一定的铺垫.在给出了实数指数幂的概念后，归纳了幂运算基本不等式，这将为下一节课推出两个推论并理解实数次幂函数的单调性打下基础.在“有理数指数幂的基本不等式”到幂运算基本不等式的推导中，培养了学生逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养. 学情分析 学生已经学习了有理数指数幂的概念及运算法则，学生对根式与分式指数幂已有充分的理解.通过学生的直观想象能力和类比能力，容易得到无理数指数幂概念和实数指数幂的运算法则.但是逻辑推理、数学运算的学科核心素养能力还有待提高，特别是在构建实数指数幂的概念上方法不够完善，类比推理的数学思想运用不够熟练. 教法分析 为了激发学生学习的主体意识，学会学习和学会创造，同时培养学生的动手能力和应用意识，本节内容采用“一体二化三导四学”教学模式，即以学生为主体，教学内容问题化，教学活动探究化，引导，指导，督导，自主学习，探究学习，合作学习，体验学习.在探究过程中，教师着眼于“导”，采用问题驱动的形式，激发学生的求知欲望；学生着眼于“探”，通过探究发现规律，发展探索能力和创造能力.整个教学过程是由问题链驱动的，共分为七个环节：创设情境启迪思维、合作探究获得新知、抽象思维形成概念、课堂实练巩固提高、小结反思拓展引申、达标检测自我诊断、布置作业巩固提高. 学法分析 将有理数指数幂的定义和运算法则推广到实数指数幂的定义和运算法则，为此必须解决无理数指数幂的问题.通过类比“用有理数逼近无理数”的办法，用有理数指数幂逼近无理数指数幂，从而构建实数指数幂的概念.而从整数指数幂到有理数指数幂，再到无理数指数幂的学习与推导，增强学生的逻辑推理素养，通过幂运算基本不等式的应用，进一步提升学生数学运算、数据分析等素养. 教学目标 知识目标 核心素养 1.通过类比“用有理数逼近无理数”的方法，理解无理数指数幂的概念； 2.经历将有理指数幂的定义和运算性质推广到实数指数幂的定义和运算性质的过程，并通过初步应用理解并掌握幂运算基本不等式及实数指数幂的运算性质. 数学抽象 数学运算 逻辑推理 数据分析 教学重点 理解无理指数幂的概念. 教学难点 理解无理数指数幂的概念. 教学环节 教 学 内 容 设计意图 师生活动 创设情境 启迪思维 由物理学家牛顿首次使用使用任意实数指数，引出指数幂的拓展的必要性． 问题1：它是怎样一个数？它的大小是怎样确定的？ 问题2：当是任意有理数时，有意义吗？有意义吗？ 由数学史引出课题可以激发学生学习探究数学的兴趣. 以表格的形式让学生理解“不足近似”和“过剩近似”为后续教学做好铺垫. 师：提问. 生：思考. 合作探究 获得新知 探究一：有理数指数幂的基本不等式 问题1：对于任意的正整数和正数， ①若，则与的大小关系如何？ ②若，则与的大小关系如何？ 问题2：对于任意的正有理数和正数与1的大小关系如何？ 问题3：对于任意的负有理数和正数与1的大小关系如何？ 问题4：对于任意的正数和两有理数,与的大小关系如何？ 问题5：对于任意的正数和正实数与1的大小关系如何？ 对于任意的正数和负实数与1的大小关系如何？ 通过复习展示正整数指数幂的运算规律类比推理得出“有理数指数幂的基本不等式”，体会“反证法”证明问题的思想. 通过问题逐步渗透类比推理思想及分类讨论思想. 教师引导学生认识“有理数指数幂的基本不等式”并利用类比推理的数学思想得出实数幂运算基本不等式. 学生初步体会类比推理思想及分类讨论思想的应用. 探究二：无理数指数幂的概念 问题1：当是任意有理数时，有意义吗？对于任意的正数，当是任意有理数时，有意义吗？ 问题2：如何确定的大小？ 采用从具体到抽象，从特殊到一般的研究过程，并用类比推理的方法，生成无理指数幂的概念，通过推导过程，提高学生的推理论证能力. 教师引导学生理解无理数指数幂的近似值可以利用