第六章 数列- 【高考领航】2024高考数学大一轮复习课时作业word（新教材，人教A版）

重点强化练4　等差与等比数列的综合应用 A级　基础落实练 1．(2023·北京房山区期末)《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，春分当日日影长为6尺，则立夏当日日影长为(　　) A．16.5尺　　　　　 B．13尺 C．3.5尺 D．2.5尺 解析：D　设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为{an}，则立春当日日影长为a4＝9.5，春分当日日影长为a7＝6，所以立夏当日日影长为a10＝2a7－a4＝2.5.故选D． 2．(2022·甘肃九校联考)已知数列{an}是公比为q的等比数列，若2a1＝a3a4，且a5是a4与2的等差中项，则q的值是(　　) A．1 B．2 C．－1或1 D．－2或2 解析：A　由2a1＝a3a4＝a1a6，得a6＝2，由题意知2a5＝a4＋2，即2·＝＋2，即4q＝2＋2q2，解得q＝1，故选A． 3．(2022·安徽六安一中月考)在等差数列{an}中，若a1，a3，a4成等比数列，则此等比数列的公比为(　　) A．1或 B． C．－ D．1 解析：A　设等差数列{an}的公差为d，由a1，a3，a4成等比数列可得a＝a1a4，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，得d＝0或a1＝－4d. 当d＝0时，等差数列{an}为非零常数列， 所以a1＝a3＝a4≠0.则所求公比为1； 当a1＝－4d时，a3＝a1＋2d＝－2d，则所求公比为＝＝.故选A． 4．(2022·西南四省名校联考)设单调递增的等比数列{an}满足a4＋a6＝20，a4a5a6＝512，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(　　) A． B． C． D． 解析：C　由a4a5a6＝512，即a＝512，得a5＝8，则a4a6＝a＝64， 由解得或(舍去)，所以公比q＝＝2，所以an＝a5qn－5＝2n－2，从而anan＋1＝2n－2·2n－1＝22n－3＝×4n－1，从而a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝.故选C． 5．(多选题)已知数列{an}满足an＋an＋2＝n，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论一定正确的是(　　) A．an＋4－an＝2 B．an＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝2n＋1 C．S20＝90 D．Sn＋2＋Sn＞ 解析：AB　由an＋an＋2＝n可知an＋1＋an＋3＝n＋1，an＋2＋an＋4＝n＋2.对于A，(an＋2＋an＋4)－(an＋2＋an)＝an＋4－an＝n＋2－n＝2，故A正确；对于B，an＋an＋2＋an＋1＋an＋3＝n＋n＋1＝2n＋1，故B正确；对于C，令bn＋1＝a4n＋1＋a4n＋2＋ a4n＋3＋a4n＋4，结合B选项可得bn＋1＝8n＋3，则bn＝a4n－3＋a4n－2＋a4n－1＋a4n＝8n－5，所以bn＋1－bn＝8n＋3－(8n－5)＝8，又b1＝a1＋a2＋a3＋a4＝3，所以{bn}是以3为首项，8为公差的等差数列，则S20＝b1＋b2＋b3＋b4＋b5＝3×5＋×8＝95，故C错误；对于D，由an＋an＋2＝n可知， (an＋an＋2)＝Sn＋Sn＋2－(a1＋a2)＝，所以Sn＋Sn＋2＝＋a1＋a2，因为a1＋a2无法确定，故D项无法判定其正确性．综上可知，选AB． 6．(2022·安徽名校联考)若等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a2a9＝2×105，则lg a1＋lg a2＋…＋lg a10＝________． 解析：因为数列{an}为等比数列，所以a5a6＝a2a9＝a1a10＝a3a8＝a4a7＝105，所以lg a1＋lg a2＋…＋lg a10＝lg(a1a2…a10)＝5lg 105＝25. 答案：25 7．在等差数列{an}中，若a1＜0，Sn为其前n项之和，且S7＝S17，则Sn最小时n的值为________． 解析：解法一：由S7＝S17得2a1＋23d＝0， 即(a1＋11d)＋(a1＋12d)＝0，故a12＋a13＝0. 又由a1＜0，S7＝S17，可知d＞0，所以a12＜0，a13＞0，所以n＝12时，Sn最小． 解法二：由S7＝S17得d＝－a1，从而Sn＝n2＋n＝－(n－12)2＋a1.因为a1＜0，所以－＞0，所以n＝12时，Sn最小． 答案：12 8．(2022·河北衡水一中一调)设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn＝an＋1－2n＋1＋1(n∈N*)，且a2＝5，则数列{an}的通项公式为________． 解析：令n＝1，得2a1＝a2－22＋1，所以a1＝1.当n≥2时，由2Sn＝an＋1－2n＋1＋1得，2Sn－1