第八章 平面解析几何- 【高考领航】2024高考数学大一轮复习课时作业word（新教材，人教A版）

重点强化练6　圆锥曲线的几何性质 A级　基础落实练 1．已知点F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　　) A．4　　 B．6　　 C．8　　 D．12 解析：A　由|PF1|＋|PF2|＝4①， |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°＝|F1F2|2②， 由①2－②得3|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|·|PF2|＝4，故选A． 2．(2022·安徽江南十校模拟)已知椭圆C的中心为坐标原点O，点F，B分别为椭圆C的右焦点和短轴端点．点O到直线BF的距离为，过F垂直于椭圆长轴的弦长为2，则椭圆C的方程是(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析：C　设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知设BF的方程为＋＝1，因为点O到直线BF的距离为，所以＝，又因为过F垂直于椭圆长轴的弦长为2，所以＝2，结合a2＝b2＋c2，知a＝4，b＝2，故选C． 3．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)与双曲线－＝1(m＞0，n＞0)有相同的焦点(－c，0)和(c，0)(c＞0)．若c是a，m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是(　　) A． B． C． D． 解析：B　根据题意知，a2－b2＝m2＋n2＝c2①. 因为c是a，m的等比中项，所以c2＝am②. 又n2是2m2与c2的等差中项，所以2n2＝2m2＋c2③. 由①③得n2＝3m2，所以c2＝4m2， 所以c＝2m，代入②得a＝4m， 所以椭圆的离心率是＝＝.故选B． 4．(2022·杭州模拟)已知双曲线E：－y2＝1，点F为双曲线E的左焦点，点P，Q为双曲线E右支上的两点．若线段PQ经过A(2，0)，△PQF的周长为8，则线段PQ的长为(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 解析：B　如图所示，由题意，得双曲线E：－y2＝1的左焦点F的坐标为(－2，0)，∴双曲线E的右焦点的坐标为(2，0)，为点A，且在线段PQ上．∴|PF|－|PA|＝2，|QF|－|QA|＝2，则|PF|＋|FQ|＝|PA|＋|QA|＋4＝|PQ|＋4，∴△PQF的周长为8＝|PF|＋|QF|＋|PQ|＝2|PQ|＋4，解得|PQ|＝2.故选B． 5．(2022·长春质检)已知抛物线C：y2＝2x，过原点作两条互相垂直的直线分别交C于A，B两点(A，B均不与坐标原点重合)，则抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为(　　) A．2 B．3 C． D．4 解析：C　设直线AB的方程为x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得y2－2my－2t＝0，故y1y2＝－2t，由OA⊥OB，得x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝0，即y1y2＝－4， ∴t＝2，即直线AB过定点(2，0)，∴抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为2－＝.故选C． 6．(2022·湖北七市统一调研)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为(　　) A． B． C．2 D． 解析：D　由题意，可得F(1，0)，直线l的方程为x＝－1， 双曲线的渐近线方程为y＝±x. 将x＝－1代入y＝±x，得y＝±， 所以点A，B的纵坐标的绝对值均为. 由|AB|＝4|OF|可得＝4，即b＝2a，b2＝4a2， 故双曲线的离心率e＝＝ ＝. 7．(2022·沈阳质量监测)已知双曲线C：－＝1的右焦点为F，过原点O的直线与双曲线C交于A，B两点，且∠AFB＝60°，则△OBF的面积为(　　) A． B． C． D． 解析：D　如图，设双曲线的左焦点为F1，连接AF1，BF1. 依题意可知，四边形AFBF1为平行四边形，由∠AFB＝60°可得∠F1BF＝120°.|F1F|＝2c＝2＝10，在△BF1F中，由余弦定理可得|BF1|2＋|BF|2－2|BF1||BF|cos∠F1BF＝|F1F|2，即|BF1|2＋|BF|2＋|BF1||BF|＝100.① 又因为点B在双曲线上， 所以||BF1|－|BF||＝2a＝8， 两边平方得|BF1|2＋|BF|2－2|BF1||BF|＝64.② ①－②得3|BF1||BF|＝36，即|BF1||BF|＝12， 所以S△FBF＝|BF1||BF|sin∠F1BF＝×12×＝3， 因为O为F1F的中点，所以S△OBF＝S△FBF＝，故选D． 8．(多选题)已知三个数1，a，9成等比数列，则圆锥曲线＋＝1的离心率为(　　) A． B． C． D． 解析：BC　由三个数1，a，9成等比数列，得a2＝9，即a