2.7 探究勾股定理 第1课时 勾股定理（讲+练，12题型）-【划重点】2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（浙教版）

2.7 探索勾股定理 第1课时 勾股定理 1.掌握幻股定理，了解利用拼图验证幻股定理的方法 2.会借助勾股定理确定数轴上表示无理数的点理解实数与数轴上的点的一一对应关系. 3.能够从实际问题中抽象出直角三角形并能运用股定理进行有关的计算和证明 知识点一 勾股定理 1.勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系,是数学中最著名的定理之一,在图形研究和生活、生产实践中有广泛的应用. 2.符号语言 如果为直角三角形的两条直角边的长,为斜边的长，则. 3. 变式与应用 （1）变式 ， （2）应用 ，， (1)应用勾股定理可以求边长,但当已知的三角形不是直角三角形时常通过作高,构造直角三角形,再利用勾股定理求解； (2)勾股定理揭示的是直角三角形的三边间的等量关系，只有在直角三角形中才能使用勾股定理 (3)应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在应用时，斜边只能是.若为斜边，则关系式是,若为斜边则关系式是 (3)若没有明确所给直角三角形中边的类型(是直角边还是斜边),要分类讨论，以免漏解 即学即练1已知在中，，，，． (1)若，，求c． (2)若，，求b． 即学即练2 （2022秋·山东枣庄·八年级校考阶段练习）在图中所示的长方形零件示意图中，根据所给的部分尺寸，求两孔中心A和B的距离（单位：mm） 知识点二 勾股定理的应用 勾股定理把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数的关系.其主要应用如下： (1)已知直角三角形的任意两边求第三边; (2)已知直角三角形的任意一边和另两边的关系,求出未知的两边； (3)证明包含平方(算术平方根)关系的几何问题； (4)构造方程(或方程组)计算有关线段的长度,解决生产、生活中的实际问题. 即学即练1 已知一架5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚3m，若梯子的顶端下滑1m，则梯足将滑动多远？ 即学即练2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c． (1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b； (2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积； (3)若c－a＝4，b＝16，求a、c； (4)若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高hc； (5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c． 即学即练3 我国古代数学著作《九章算术》中有一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（丈、尺是长度单位，1丈=10尺）．意思是有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？    知识点三 勾股定理的证明 对于勾股定理的证明,现在世界上已找出很多种运用图形的割、移补、拼构造特殊图形,并根据面积之间的关系进行推导的方法,现摘取几种著名的证法 方法 图形 证明 赵爽“勾股圆方图”(“赵爽弦图”) 因为大正方形的边长为 ,所以大正方形的面积为，又大正方形的面积，所以 刘徽“青朱出入图” 设大正方形的面积为,则.根据“出入相补,以盈补虚”的原理,又有,所以 加菲尔德总统拼图 如图： 利用整体法，梯形的面积为，利用分割法，梯形的面积为，所以 毕达哥拉斯拼图 图1中拼成的正方形与图2中拼成的正方形面积相等，通过面积相等可以得到：，整理得． 欧几里得证法 注意： (1)勾股定理是通过等积法来验证的，同一个图形用不同的方法计算的面积相等. (2)勾股定理的验证,将“形’的问题转化为“数”的问题，体现了数形结合的思想 即学即练 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：    证明：连接，过点D作边上的高，则， ∵，， ∴ ∴． 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中． 求证：． 知识点四 作长为(n为大于1的整数)的线段 实数与数轴上的点是一一对应的,有理数在数轴上较易找到与它对应的点，若要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难由此,我们可借助勾股定理作出长为(n为大于1的整数)的线段 画长为的线段 当直角三角形的两直角边长分别为 ,时斜边长为,即 ;当两直角边长分别为,时,斜边长为,即.依此规律可以画出长为,,，…的线段. 在数轴上表示 构造两条直角边长都是的直角三角形,使用勾股定理得到斜为,再用圆规截取的方法在数