3.1.1 椭圆及其标准方程 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.1 椭圆及其标准方程 数学实验 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.（符合圆的定义） 如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点，(如图)（定点），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，我们发现，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个椭圆. 2 数学实验 如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点，(如图)（定点），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，我们发现，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个椭圆. 问题1 在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？细绳的长度是否改变？若改变，如何变化？若不改变，如何描述这个细绳的长度不变？ 笔尖移动的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离的和等于常数. 数学实验 如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点，(如图)（定点），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，我们发现，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个椭圆. 问题2 如何用数学的符号表示”笔尖到两个定点的距离的和等于常数”？ 笔尖移动的过程中，细绳的长度保持不变， 即笔尖到两个定点的距离的和等于常数. 新课讲授 我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. 5 问题3 在上面椭圆的定义中， 为什么要强调这个常数大于？ 新课讲授 我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. （1）当动点到两定点、间距离之和等于两定点间的距离时，动点的轨迹是什么？（即） （2）当动点到两定点、间距离之和小于两定点间的距离时，动点的轨迹是什么？（即） 线段AB 点轨迹不存在 6 新课讲授 问题4 观察椭圆的形状，怎样建立平面直角坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？ 利用椭圆的对称性，我们可以经过椭圆两焦点，的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示. 7 新课讲授 设是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为，则焦点的坐标分别为． 根据椭圆的定义，设点与焦点的距离的和等于 所以+= . 椭圆定义：我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆． 请完成后面的化简！ 8 新课讲授 .由椭圆的定义可知,，所以>0. 由上面化简得： 设2 那么方程成：. 9 新课讲授 ① 由上面的推导过程知，椭圆上任意一点的坐标(x，y)都满足方程①;反之，以方程①的解为坐标的点(x，y)与椭圆的两个焦点(c，0)，(一c，0)的距离之和为 2a，即以方程①的解为坐标的点都在椭圆上.这时，我们称方程①是椭圆的方程 这个方程叫做椭圆的标准方程. 它表示焦点在x轴上，两个焦点分别是F1(一c，0)，F2(c，0) 的椭圆，这里c2=a²-b2. 10 新课讲授 问题5 你能在右图中找出表示a,b,c的线段吗？ 问题6 在图3.1-4中, 如果焦点F1, F2在y轴上, 且F1, F2的坐标分别为(0,－c), (0, c), a, b的意义同上, 那么椭圆的方程是什么? 11 新课讲授 焦点在轴上 焦点在轴上 判断焦点位置：看，的分母大小，哪个分母大， 焦点就在哪个坐标轴上 已知椭圆的标准方程，如何判断焦点在哪个坐标轴？ 12 典型例题 例1.已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程. 解：由于椭圆的焦点在轴上，设椭圆的标准方程为. 由椭圆的定义知 所以 所求椭圆的标准方程为 定义法求椭圆的方程！ 13 新课讲授 例1.已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程. 问题7 本题中，已知椭圆上点的坐标，能否用待定系数法求出它的标准方程？试试吧.完成后请思考，什么情况下可用待定系数法求曲线的方程？ 14 课堂练习 1.如果椭圆上一点P与焦点的距离等于6，那么点P与另一个焦点的距离是_________.（书本P109） 2.设是椭圆上的任意一点，若，是椭圆的两个焦点，则等于( ). A.10 B.8 C.5 D.4 15 课堂练习P109 3.经过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线AB，交椭圆于A，B两点，是椭圆的左焦点. (1)求△AF1B的周长; (2)如果AB不垂直于轴， △AF1B的周长有变化吗？为什么？ 1