专题02 模型构建专题：解直角三角形应用中的基本模型之六大类型-【学霸满分】2023-2024学年九年级数学下册重难点专题提优训练（北师大版）

专题02 模型构建专题：解直角三角形应用中的基本模型之六大类型 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【类型一 含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形】 1 【类型二 不含特殊角的非直角三角形】 10 【类型三 “独立”型】 15 【类型四 “背靠背”型】 19 【类型五 “叠合”型】 25 【类型六 “斜截”型】 29 【典型例题】 【类型一 含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形】 例题：（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，小明在游玩时想利用手中的无人机测量一山崖（垂直于地面）的高度，小明从点看向无人机的仰角为．从无人机处测得看山崖顶端的仰角为，测得看山崖底部处的俯角为，无人机与山崖的水平距离为50米．（图中各点均在同一平面内）．    (1)求山崖的高度（结果保留根号）； (2)若点距离地面2米，求小明到山崖的水平距离（结果取整数）．（参考数据：，） 【变式训练】 1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加强了海洋巡逻力度，如图，一艘海监船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔100海里的处，沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处．    (1)在这段时间内，海监船与灯塔的最近距离是多少海里？ (2)在这段时间内，海监船航行了多少海里？（结果保留根号） 2．（2023·海南·统考中考真题）如图，一艘轮船在处测得灯塔位于的北偏东方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达处，测得灯塔位于的北偏东方向上，测得港口位于的北偏东方向上．已知港口在灯塔的正北方向上．    (1)填空： 度， 度； (2)求灯塔到轮船航线的距离（结果保留根号）； (3)求港口与灯塔的距离（结果保留根号）． 3．（2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中）无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中C处测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼EF楼顶E处的俯角为．已知楼和楼之间的距离HF为90米，楼的高度为12米，从楼的E处测得楼的D处的仰角为30°，．（点A、B、C、D、E、F、H在同一平面内）．（参考数据：）    (1)求楼的高度； (2)求此时无人机距离地面的高度． 4．（2023秋·海南海口·九年级校考期末）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活，如图是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得尾顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为60°，房屋的顶层横梁，，交于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：，，，）    (1)求屋顶到横梁的距离； (2)求房屋的高（结果精确到）． 5．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中处，测得楼楼顶处的俯角为，测得楼楼顶处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为米，楼的高度为10米，从楼的处测得楼的处的仰角为（点在同一平面内，参考数据：）．    (1)填空：______________度； (2)求楼的高度； (3)求此时无人机距离地面的高度（结果精确到1米）． 【类型二 不含特殊角的非直角三角形】 例题：（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在的方格中，两条线段的夹角（锐角）为，则 ．    【变式训练】 1．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则 ．    2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，的三个顶点都在边长是的小正方形的顶点上，则 ． 3．（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 4．（2023秋·重庆·九年级重庆实验外国语学校校考开学考试）如图，在中，，点为的中点，于点，连接．已知.    (1)若，求的长度； (2)若，求． 5．（2023·宁夏吴忠·校考二模）问题呈现：如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，和相交于点P，求的值． 方法归纳：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形.观察发现问题中不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解获此类问题，比如连接格点M、N，可得，则，连接DM，那么就变换到中，    问题解决： (1)求出图1中的值； (2)如图2，在边长为1的正方形网格中，与相交于点P，求的值． 6．（2023秋·全国·九年级专题练习）在学习完