第十章 第二节　选修4—4　坐标系与参数方程-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，文科（人教A版 老教材 老高考）

第二节　选修4—4　坐标系与参数方程 第一课时　坐标系 授课提示：对应学生用书第273页 1．坐标系 (1)坐标变换： 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点(λx，μy)，称φ为坐标系中的伸缩变换． (2)极坐标系： 在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． 设M是平面内任意一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)． 2．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴非负半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则 3．常用简单曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 ρ＝r (0≤θ<2π) 圆心为(r,0)，半径为r的圆 ρ＝2rcos θ 圆心为，半径为r的圆 ρ＝2rsin θ (0≤θ<π) 过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α(ρ∈R) 或θ＝π＋α(ρ∈R) 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 ρcos θ＝a 过点(a>0)，且与极轴平行的直线 ρsin θ＝a (0<θ<π) 1.明辨两个坐标 伸缩变换关系式点(x，y)在原曲线上，点(x′，y′)在变换后的曲线上，因此点(x，y)的坐标满足原来的曲线方程，点(x′，y′)的坐标满足变换后的曲线方程． 2．极坐标方程与直角坐标方程互化 (1)公式代入：直角坐标方程化为极坐标方程公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简． (2)整体代换：极坐标方程化为直角坐标方程，变形构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换． 1．在极坐标系中，过点A(6，π)作圆ρ＝－4cos θ的切线，则切线长为(　　) A．2 B．6 C．2 D．2 答案：C 2．极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是(　　) A．2 B. C．1 D. 答案：D 3．点P的直角坐标为(1，－)，则点P的极坐标为______． 答案： 4．在极坐标系中，圆心在且过极点的圆的方程为________． 答案：ρ＝－2 cos θ 5．已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，则圆C的半径为________． 答案： 授课提示：对应学生用书第274页 题型一　伸缩变换　 1．在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换后，曲线C变为曲线2x′2＋8y′2＝1，求曲线C的方程． 解：把代入曲线2x′2＋8y′2＝1，可得2(5x)2＋8(3y)2＝1，化为50x2＋72y2＝1，即为曲线C的方程． 2．在同一直角坐标系中，求满足下列图形的伸缩变换：由曲线4x2＋9y2＝36变成曲线x′2＋y′2＝1. 解：法一：设变换为φ：可将其代入x′2＋y′2＝1，得λ2x2＋μ2y2＝1. 将4x2＋9y2＝36变形为＋＝1， 比较系数得λ＝，μ＝， 所以 故将椭圆4x2＋9y2＝36上的所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的，可得到圆x′2＋y′2＝1. 法二：利用配凑法将4x2＋9y2＝36化为2＋2＝1，与x′2＋y′2＝1对应项比较即可得 故将椭圆4x2＋9y2＝36上的所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的，可得到圆x′2＋y′2＝1. 3．(2023·池州模拟)求曲线x2＋y2＝1经过φ：变换后得到的新曲线的方程． 解：曲线x2＋y2＝1经过φ：变换后，即将代入圆的方程， 可得＋＝1， 即所求新曲线方程为＋＝1. 方法总结 1．平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：的作用下的变换方程的求法是将代入y＝f(x)，得＝f，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程． 2．应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x，y)与变换后的坐标(x′，y′)．　　 题型二　求曲线的极坐标方程　 [典例]　如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在圆的圆心分别是(1,0)，，(1，π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧. (1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程； (2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝，求P的极坐标． [解]　(1)由题设可得，弧，， 所在圆的极坐标方程分别为 ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ. 所以M1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，M2的极坐标方程为ρ＝2sin θ