第十章 第三节　选修4－5　不等式选讲-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，文科（人教A版 老教材 老高考）

第三节　选修4－5　不等式选讲 授课提示：对应学生用书第283页 1．绝对值三角不等式 (1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立； (2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立． 2．绝对值不等式的解集 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集： 不等式 a>0 a＝0 a<0 |x|<a {x|－a<x<a} ∅ ∅ |x|>a {x|x>a或x<－a} {x∈R|x≠0} R (2)|ax＋b|≤c、|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法： ①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. 3．基本不等式 定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 定理2：如果a，b>0，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均． 定理3：如果a，b，c全为正实数，那么≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 4．柯西不等式 设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立． 1．一组重要关系 |a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|，|a|＋|b|之间的关系： (1)|a＋b|≥|a|－|b|，当且仅当a＞－b＞0时，等号成立． (2)|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立． 2．两个等价关系 (1)|x|＜a⇔－a＜x＜a(a＞0)． (2)|x|＞a⇔x＜－a或x＞a(a＞0)． 3．一个关键 解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号． 4．一个口诀 解含绝对值的不等式的基本思路可概括为十二字口诀“找零点，分区间，逐个解，并起来”． 1．不等式|x－1|<1的解集为(　　) A．(1,2) B．(0,2) C．(－1,1) D．(0,1) 答案：B 2．|2x－1|>3的解集为(　　) A．(－∞，－2)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(2，＋∞) C．(－2,1) D．(－1,2) 答案：B 3．不等式|x＋1|>|x－1|的解集为________． 答案：(0，＋∞) 4．若关于x的不等式|ax－2|＜3的解集为，则a＝________. 答案：－3 5．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ac>0，abc>0，用反证法求证a>0，b>0，c>0时的假设为________． 答案：a，b，c不全是正数 授课提示：对应学生用书第284页 题型一　解绝对值不等式　 1．已知函数f(x)＝|x＋1|＋|2ax＋1|. (1)若a＝1，解不等式f(x)>3－x； (2)当x∈[－1, 1]时，f(x)≤|x＋3|恒成立，求a的取值范围． 解：(1)若a＝1，则f(x)＝|x＋1|＋|2x＋1|＝ 当x∈(－∞，－1)时，则f(x)>3－x，即为－2－3x>3－x，得x∈； 当x∈时，则f(x)>3－x，即为－x>3－x，得x∈∅； 当x∈时，则f(x)>3－x， 即为3x＋2>3－x，得x∈. 综上，不等式f(x)>3－x的解集为 ∪. (2)当x∈[－1,1]时，f(x)≤|x＋3|，等价于|2ax＋1|≤2，只需解得a∈. 2．设函数ƒ(x)＝5－|x＋a|－|x－2|. (1)当a＝1时，求不等式ƒ(x)≥0的解集； (2)若ƒ(x)≤1，求a的取值范围． 解：(1)当a＝1时，ƒ(x)＝ 可得ƒ(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}． (2)ƒ(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4. 而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|， 故ƒ(x)≤1等价于|a＋2|≥4. 由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2， 所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)． 3．已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－3|. (1)若关于x的不等式f(x)＜a有解，求实数a的取值范围； (2)若关于x的不等式f(x)＜a的解集为，求a＋b的值． 解：(1)不等式等价于a＞f(x)min，f(x)＝ 绘制函数f(x)的图象如图所示，观察函数的图象，可得实数a的取值范围是(4，＋∞)． (2)由题意可得x＝是方程|x＋1|＋|x－3|＝a的解，据此有a＝＋＝5， 求解绝对值不等式|x＋1|＋|x－3|＜5可得， －＜x＜. 故b＝－，a＋b＝5－＝. 方法总结 含绝对值不等式的解法 方法 解读 适合题型 公式法 利用公式|x|<a⇔－a<x<a(a>0)和|x|>a⇔x>a或x<－a(a>