第八章 第六节　双曲线-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，文科（人教A版 老教材 老高考）

第六节　双曲线 授课提示：对应学生用书第218页 1．双曲线的定义 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值(|F1F2|＝2c>0)为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距． (2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线； ③当2a>|F1F2|时，M点不存在． 2．双曲线的标准方程与几何性质 图形 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴； 对称中心：原点 对称轴：坐标轴； 对称中心：原点 顶点 顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0) 顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实、虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 1.在双曲线的定义中，|MF1|－|MF2|＝2a表示靠近F2的一支，|MF2|－|MF1|＝2a表示靠近F1的一支． 2．双曲线的焦点到渐近线的距离等于其虚半轴长． 3．方程－＝1(mn＞0)表示的曲线： (1)当m＞0，n＞0时，表示焦点在x轴上的双曲线． (2)当m＜0，n＜0时，表示焦点在y轴上的双曲线． 4．方程的常见设法： (1)与双曲线－＝1共渐近线的方程可设为－＝λ(λ≠0)． (2)若渐近线的方程为y＝±x，则可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)． 1．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为(　　) A．x2－＝1 B.－y2＝1 C．x2－＝1 D.－＝1 答案：A 2．若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　) A．11 B．9 C．5 D．3 答案：B 3．双曲线－＝1的离心率为(　　) A．4 B. C. D. 答案：D 4．双曲线x2－＝1的渐近线方程为________． 答案：y＝±x 5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在其右支上，若AF1⊥AF2，∠AF1F2＝，则的值为________． 答案：1 授课提示：对应学生用书第219页 题型一　双曲线的定义及应用　 1．已知两圆C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是(　　) A．x＝0 B.－＝1(x≥) C.－＝1 D.－＝1或x＝0 解析：动圆M与两圆C1，C2都相切，有四种情况：①动圆M与两圆都外切；②动圆M与两圆都内切；③动圆M与圆C1外切、与圆C2内切；④动圆M与圆C1内切、与圆C2外切．在①②情况下，显然，动圆圆心M的轨迹方程为x＝0；在③的情况下，设动圆M的半径为r，则|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－， 故得|MC1|－|MC2|＝2； 在④的情况下，同理得|MC2|－|MC1|＝2. 由③④得|MC1|－|MC2|＝±2.已知|C1C2|＝8， 根据双曲线定义，可知点M的轨迹是以C1(－4,0)，C2(4，0)为焦点的双曲线，且a＝，c＝4，b2＝c2－a2＝14，其方程为－＝1. 答案：D 2．(2023·沈阳模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0)的一条渐近线方程为x－y＝0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，P为双曲线C上一点．若|PF1|＝5，则|PF2|＝(　　) A．1 B．1或9 C．3或9 D．9 解析：因为双曲线C的一条渐近线方程为x－y＝0，所以＝，所以a＝2，所以c＝＝2.因为|PF1|＝5<2＋2＝a＋c，所以点P在双曲线C的左支上，所以由双曲线的定义可得|PF2|－|PF1|＝4，所以|PF2|＝4＋|PF1|＝9. 答案：D 3．(2023·郑州模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为y＝±x，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：x2＋(y＋)2＝1上一点，则|MN|＋|MF2|的最小值为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 解析：由题意知2a＝6，则a＝3，又由＝得b＝1，所以c＝＝，则F1(－，0)．根据双曲线的定义知|MF2|＝2a＋|MF1|＝|M