第八章 第二节　直线的交点与距离公式-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，文科（人教A版 老教材 老高考）

第二节　直线的交点与距离公式 授课提示：对应学生用书第201页 三种距离 三种距离 条件 公式 两点间的距离 A(x1，y1)，B(x2，y2) |AB|＝ 点到直线的距离 P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d d＝ 两平行线间的距离 直线Ax＋By＋C1＝0到直线Ax＋By＋C2＝0的距离为d d＝ 1.点到直线的距离公式的注意点 (1)直线方程为一般式． (2)公式中分母与点无关． (3)分子与点及直线方程都有关． 2．两平行直线间的距离的注意点 (1)是一条直线上任意一点到另一条直线的距离． (2)也可以看成是两条直线上各取一点的最短距离． 1．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是(　　) A.　　　　 B. C.　　　　 D. 答案：D 2．直线2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a的值为________． 答案： 3．已知两平行线l1：2x＋3y＝6，l2：2x＋3y－1＝0，则l1与l2间的距离为________． 答案： 4．已知点A(3,2)和B(－1,4)到直线ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为________． 答案：－4或 5．已知点A与点B(1,2)关于直线x＋y＋3＝0对称，则点A的坐标为________． 答案：(－5，－4) 授课提示：对应学生用书第203页 题型一　直线的交点及应用　 [典例]　(1)(2023·太原模拟)若直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)与原点之间的距离的最小值为(　　) A. B. C．2 D．2 [解析]　由解得把(1,2)代入mx＋ny＋5＝0，可得m＋2n＋5＝0，∴m＝－5－2n.∴点(m，n)与原点之间的距离d＝＝＝≥，当且仅当n＝－2，m＝－1时取等号，∴点(m，n)与原点之间的距离的最小值为. [答案]　A (2)若直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于M，N两点，且MN的中点是P(1，－1)，则直线l的斜率是(　　) A．－ B. C．－ D. [解析]　由题意，设直线l的方程为y＝k(x－1)－1，分别与y＝1，x－y－7＝0联立解得M，N.又因为MN的中点是P(1，－1)，所以由中点坐标公式得k＝－. [答案]　A 方法总结 求过两直线交点的直线方程的方法 (1)直接法：①先求出两直线的交点坐标；②结合题设中的其他条件，写出直线方程；③将直线方程化为一般式． (2)直线系法：①设过两直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0. ②利用题设条件，求λ的值，得出直线方程． ③验证所得直线方程是否符合题意． (3)数形结合法：求直线截得的线段长．　　 已知直线l经过点P(3,1)，且被两条平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程． 解：如图所示，作直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0. l1与x，y轴的交点分别为A(－1,0)，B(0，－1)， l2与x，y轴的交点分别为C(－6,0)，D(0，－6)． 所以|BD|＝5，|AC|＝5. 过点(3,1)与l1、l2截得的线段长为5， 即平行于x轴或y轴． 所以所求直线方程为x＝3或y＝1. 题型二　距离问题　 [典例]　(1)(2021·全国乙卷)双曲线－＝1的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离为________． [解析]　由－＝1得右焦点的坐标为(3,0)，则由点到直线的距离公式得所求距离d＝＝. [答案]　 (2)已知正方形的中心为点M(－1,0)，一条边所在直线方程是x＋3y－5＝0.求正方形其他三边所在直线的方程． [解]　如图所示， 过M作边AD所在直线x＋3y－5＝0的垂线，垂足为E. |ME|＝ ＝. 设直线BC的方程为x＋3y－m＝0，则M到BC的距离是. 令＝. 解得m＝－7或m＝5. 所以直线BC的方程为x＋3y＋7＝0. 因为直线AB与AD垂直，所以设它的方程为3x－y－n＝0. 则M到AB的距离是. 令＝， 解得n＝3或n＝－9. 所以直线AB，CD的方程分别为3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0. 综上得，其余三边所在直线的方程分别是 3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0,3x－y－3＝0. 方法总结 1．用点到直线的距离公式，直线方程必须为一般式； 2．用两平行线间的距离公式，两直线方程中x，y的系数分别相同；　　 3．两个公式中的“绝对值”号不可盲目去掉，要等价变化； 4．点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|. 1．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x