第八章 专题提能　破解解析几何中重、难点策略-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，文科（人教A版 老教材 老高考）

　　　　　　　　　　　　破解解析几何中重、难点策略 授课提示：对应学生用书第233页 (一)图形对称性问题 近几年高考和模考中的圆锥曲线综合题中，出现了不少关于轴对称、中心对称、平行、垂直、中垂线、弦的中点、特殊几何图形或特殊几何图形内接于圆锥曲线等问题，用解析几何呈现出来的形式往往是角相等或互补、斜率相等或互为相反数、过定点或为定值等，这种题型能有效考查考生的直观想象、数学运算和逻辑推理等核心素养． [例1]　经过点的椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B，且直线AB的斜率为－. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设不垂直于x轴的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，O为坐标原点，点N(4,0)．若P，Q，N三点不共线，且∠ONP＝∠ONQ.证明：动直线l经过定点． [解]　(1)因为A(a,0)，B(0，b)，所以＝－，即a＝2b. 因为点在椭圆上，所以＋＝1，即＋＝1，解得b2＝1，a2＝4. 故椭圆C的标准方程是＋y2＝1. (2)证明：设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，与C的方程联立得消去y得，(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)＝16(4k2－m2＋1)>0. 设P(x1，kx1＋m)，Q(x2，kx2＋m)，则x1＋x2＝－，x1x2＝. kPN＋kQN＝＋ ＝. 由∠ONP＝∠ONQ知，kPN＋kQN＝0， 所以2kx1x2－(4k－m)(x1＋x2)－8m＝2k·－(4k－m)－8m＝＋－8m＝0，得m＝－k，满足Δ>0. 故动直线l的方程为y＝kx－k，过定点(1,0)． [方法总结]　本题中，由kPN＋kQN＝0构建方程找到m，k的关系是解题的关键．设直线l的方程和点P，Q的坐标，将直线方程与椭圆方程联立消元，利用根与系数的关系建立方程与不等式是解题的难点． [例2]　已知动圆过定点M(0,4)，且截x轴所得的弦AB的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)过轨迹C上一个定点P(m，n)(m≠0)引它的两条弦PS，PT，直线PS，PT的斜率存在且倾斜角互为补角．证明：直线ST的斜率为定值． [解]　(1)设动圆圆心C的坐标为(x，y)，则(x－0)2＋(y－4)2＝42＋y2， 整理得x2＝8y. 故所求动圆圆心的轨迹C的方程为x2＝8y. (2)证明：设S(x1，y1)，T(x2，y2)，则有x＝8y1，x＝8y2，m2＝8n. 因为直线PS，PT的斜率存在且倾斜角互为补角，所以kPS＋kPT＝0， 即＋＝＋＝＋＝0， 所以x1＋x2＝－2m. 故直线ST的斜率k＝＝＝＝－，为定值． [方法总结]　本题中，将倾斜角互为补角这一条件转化为kPS＋kPT＝0，建立方程得到x1，x2，m之间的关系是解题的关键． 已知定圆A：(x＋)2＋y2＝16，动圆M过点B(，0)，且和圆A相切． (1)求动圆圆心M的轨迹E的方程； (2)直线l：y＝kx＋m(k≠0)与轨迹E交于C，D两点，点P(0，－1)，且|PC|＝|PD|，求实数m的取值范围． 解：(1)圆A的圆心为(－，0)，半径r1＝4. 设动圆M的半径为r2，依题意有r2＝|MB|. 由|AB|＝2<r1，可知点B在圆A内，从而圆M内切于圆A，故|MA|＝r1－r2，即|MA|＋|MB|＝4>2. 所以动点M的轨迹E是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，其方程为＋y2＝1. (2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)，联立l与E的方程得消去y得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0， 由Δ＝64k2m2－16(m2－1)(1＋4k2)>0得1＋4k2>m2， 则x1＋x2＝－， y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，弦CD的中点N. 易知PN⊥CD，所以直线PN的方程是y＝－x－1. 因为点N在此直线上， 所以＝－－1， 整理得3m＝1＋4k2，代入1＋4k2>m2， 得m2－3m<0，解得0<m<3. 又3m＝1＋4k2＞1，k≠0， 所以3m>1，m>. 故实数m的取值范围是. (二)解析几何减少运算量的常见技巧 技巧1　巧用几何性质减少运算量 [例3]　已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. [解析]　设OE的中点为N，如图，因为MF∥OE，所以有＝，＝.又因为OE＝2ON，所以有＝·，解得e＝＝. [答案]　A [方法总结]　此题也可以用解析法解决，但有一定的计算量，巧用三角形的相似比可简化计算． 技巧2　设而不求整体代换 [例4]　已知