第八章 第五节　椭　圆-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，文科（人教A版 老教材 老高考）

第五节　椭　圆 授课提示：对应学生用书第213页 1．椭圆的定义 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． (2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2； ③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程和几何性质 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 性质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为2a； 短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0,1) a，b，c 的关系 a2＝b2＋c2 1.若点P是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上任意一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，且∠F1PF2＝θ，则S△PF1F2＝b2tan. 2．过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦点F作x轴的垂线，交椭圆于A，B两点，则|AB|＝. 3．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，P(x0，y0)是椭圆上任意一点，则|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0. 4．若P为椭圆＋＝1(a＞b＞0)上任意一点，则a－c≤|PF|≤a＋c. 1．下列说法中正确的个数是(　　) ①平面内到两定点距离之和为常数是动点的轨迹是椭圆的必要不充分条件； ②椭圆的离心率越大，椭圆越接近圆； ③若方程＋＝1表示椭圆，则(5－k)(k－3)＞0； ④椭圆的离心率e∈(0,1)． A．1 B．2 C．3 D．0 答案：B 2．已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3，则P到另一个焦点F2的距离为(　　) A．2 B．3 C．5 D．7 答案：D 3．过点A(3，－2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案：A 4．已知椭圆＋＝1(m>0)的离心率e＝，则m的值为________． 答案：3或 5．已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为____________． 答案：或 授课提示：对应学生用书第214页 题型一　椭圆的定义及应用　 1．(2023·郑州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为12，则椭圆C的标准方程为(　　) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，所以a＝3.因为椭圆的离心率e＝＝，所以c＝2，所以b2＝a2－c2＝5，所以椭圆C的方程为＋＝1. 答案：D 2．(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A．13 B．12 C．9 D．6 解析：∵M在椭圆C：＋＝1上， 且a＝3， ∴|MF1|＋|MF2|＝6， ∵≥ ， ∴|MF1|·|MF2| ≤2＝9， 当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，等号成立． 答案：C 3．(2023·长春模拟)已知F1，F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点P是椭圆上第一象限内的点，且PF1⊥PF2，则|PF2|＝__________. 解析：因为点P在椭圆上，所以根据椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝4.又PF1⊥PF2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝12，联立上式可得|PF2|2－4|PF2|＋2＝0.因为|PF1|>|PF2|，所以|PF2|＝2－. 答案：2－ 4．已知动圆M过定点A(－3,0)并且与定圆B：(x－3)2＋y2＝64相切，则动圆圆心M的轨迹方程为________． 解析：因为点A在圆B内， 所以过点A的圆与圆B只能内切． 因为定圆圆心坐标为B(3,0)， 所以|AB|＝6， 所以|BM|＝8－|MA|，即|MB|＋|MA|＝8＞|AB|， 所以动点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆， 即a＝4，c＝3，故b2＝7，所以椭圆方程为＋